ラグランジュの方法によって最大せん断応力を求める

サイトのTOP→理系インデックス





復習 ( 実対称行列 )

(1) 実対称行列の固有値は実数である。

(2) 実対称行列の固有値に付く固有ベクトルは互いに直交する。

補足

固有値に付く固有ベクトルの方向を 『 主方向 』 という。

また、主方向に付く座標軸を 『 主軸 』 という。

P* ( 最大せん断応力 )

σを応力テンソルとする。

よく知られているように、応力テンソルは実対称行列である。

、e、e をσの主方向とする。

σ を e に付く主応力(固有値)とする。

=n+n+n を単位法線ベクトルとしてもつ面を考える。

このとき、最大せん断応力 (σmax は次のように表される。



また、このときの垂直応力 σ は、

補足

ちなみに、最小せん断応力は (σmin=0 である。

これも以下の証明で示される。

補足

むろん、(σmax は最大主応力であり、(σmin は最小主応力である。

証明

=σ・n とおく。

つまり、t=σ+σ+σ である。

いま、σ=t・n=σ+σ+σ である。

また、σ=|t−σ=(σ−σ+(σ−σ+(σ−σ である。

いま、σ、σ、σ を既知とすると、σ は n、n、n の関数である。

以下、条件 n+n+n=1 下で σ の極値を調べよう。(ラグランジュの方法)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次のようにおく。





つまり、



上記の連立1次方程式を満たす解は、



最初の3つは主方向を意味する。

この場合、σ=0 であり、最小値である。

残りの3つについて σ を考えると、







よって、最大せん断定応力は、



また、このときの垂直応力は、