ラプラス方程式、定常状態における温度分布

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定義 ( フーリエ級数 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

次のように定義する。



このとき、S[f](x) を 『 f のフーリエ級数 』 という。

S[f](x)=f(x) が成り立つことを 「 f はフーリエ級数展開可能である 」 という。

定義 (フーリエ余弦級数、正弦級数 )

f:[0、L]→ をリーマン可積分関数とする。

次のように定義する。



このとき、Scos[f](x) を 『 フーリエ余弦級数 』 という。

また、Ssin[f](x) を 『 フーリエ正弦級数 』 という。

P1 ( 2次元ラプラス方程式の解 )

xx+uyy=0 を2次元ラプラス方程式とする。(★)

u(0、y)=u(L、y)=u(x、L)=0、u(x、0)=T を境界温度とする。

このとき、(★)の解は、

補足

上式は2次元の熱伝導方程式で ∂/∂t=0 とした場合に相当する。

証明

u=X(x)Y(y) とおく。

これを(★)に代入すると、X’’/X=−Y’’/Y である。

上式が負の値をとる場合、これは不適である。

そこで、X’’/X=−Y’’/Y=−λ とおく。

いま、

(*1) X(x)=Acos(λx)+Bsin(λx)

(*2) Y(y)=Ceλy+De−λy

境界条件より、

(*) u(0、y)=A(Ceλy+De−λy)=0

(*) u(L、y)=Bsin(λL)(Ceλy+De−λy)=0

(*) u(x、L)=Bsin(λx)(CeλL+De−λL)=0

よって、A=0、λ=nπ/L ( n は整数 )、BCeλL+BDe−λL=0 である。

ここで、E=BC、F=BD とおく。

つまり、EeλL+Fe−λL=0 である。(★)

以上により、u(x、y)=sin(λx)(Eλ+F−λ) である。

よって、



境界条件より、



上式は T のフーリエ正弦級数展開を意味する。

また、E+F は、そのフーリエ係数である。

よって、



よって、



よって、(★)より、



よって、

P2 ( 2次元ラプラス方程式〜極座標ver )

rr+r−1+r−2θθ=0 を、極座標によるラプラス方程式とする。(★)

このとき、(★)の一般解は、

補足

むろん、境界条件を与えれば、各係数は定まる。

証明

u(r、θ)=R(r)Ω(θ) とおく。

これを(★)に代入すると、rR’’/R+rR’/R=−θ’’/θ である。

上式が負の定数であると仮定する。(背理法)

すると、Ω(θ)は指数関数となる。

しかし、いま、Ω(θ)は周期2πの関数である。(※極座標)

これは矛盾である。

よって、上式は正の定数である。

つまり、rR’’/R+rR’/R=−θ’’/θ=λ である。

いま、

(*1) rR’’+rR’−λR=0

(*2) θ’’+λθ=0

いま、(*2)の一般解は、Ωλ(θ)=Aλcos(λθ)+Bλsin(λθ) である。

また、λは整数である。(※Ωは周期2πの関数)

また、λは非負である。(※負の場合は正の場合と1次独立ではないから除外する)

つまり、λ=n ( n=0、1、2、・・・ ) である。

よって、(*1) は rR’’+rR’−nR=0 である。

これは 『 オイラー方程式 』 である。

よく知られているように、その一般解は次のように表される。

(*) n=0 ⇒ R(r)=C+Dlogr

(*) n≠0 ⇒ R(r)=E+F−n

また、n=0 の場合、θは定数である。

以上により、