弾性体力学の基本問題(歪み、引張り、捻り、捩り、曲げ)

サイトのTOP→理系インデックス





参考 ( 一軸伸び )

変形によって次の歪が生じたとする。



(1) この変形の様子を図示せよ。

(2) 大変形 Exx と微小変形 εxx の差を求めよ。

(1)の解答

=(1、0)、A=(0、1) とおく。

いま、





図示すると、



変形によって生じる角度変化は θ=0 である。

(2)の解答

いま、εxx=ux、x=a である。

よって、Exx=2−1(ux、x+ux、x+ux、x+uy、x)=2−1(2a+a)である。(※グリーンテンソル)

よって、Exx−εxx=(1/2)a である。

参考 ( 純粋せん断、単純せん断 )

変形によって次の歪が生じたとする。



これらの 「 変形の様子 」 を図示し、「 変形によって生じた角度変化 」 を求めよ。

ただし、a<<1、b<<1 であるとする。

補足

(1)を 『 純粋せん断 』 という。

(2)を 『 単純せん断 』 という。

ただし、(2)については2通りの解答を用意した。

以下の証明で分かるように、(1)と(2)は本質的に同じ歪である。

(1)の解答

=(1、0)、A=(0、1) とおく。

いま、





図示すると、



変形によって生じた角度変化は、θ=2tanb≒2b である。

(2)の解答〜その1

=(1、0)、A=(0、1) とおく。

いま、





図示すると、



変形によって生じる角度変化は θ=tan2b≒2b である。

(2)の解答〜その2

次のようにおく。



いま、[ωij]は回転行列と見なせる。(※sinb≒b)



つまり、(2)の変形は(1)の変形を時計回りに(近似的に)角度 b だけ回転させたものである。

よって、



変形によって生じる角度変化は、(1)より、θ≒b+b=2b である。