連続データ、離散的エネルギースペクトル、連続的エネルギースペクトル

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定義 ( 複素フーリエ級数〜その1 )

f:[−π、π]→ をリーマン可積分関数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

定義 ( 複素フーリエ級数〜その2 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

定義 ( 複素フーリエ級数〜その3 )

f:[0、T]→ をリーマン可積分関数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

参考 ( どの定義も同じ )

明らかに、定義(複素フーリエ級数〜その1)、定義(〜その2)、定義(〜その3)は同じ意味である。

むろん、どの表記で議論を進めてもよい。

P1 ( 実フーリエ級数 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

k≧1とする。

いま、



よって、a=c+c−k、b=i(c−c−k)である。

一方、k=0 の場合を考えると、c=a/2 である。

よって、



定義 ( 離散的エネルギースペクトル )

f(x) を周期 T の関数とする。

いま、



式変形すると、



さらに、後の議論を考慮して A=|a| と定義しておく。

このとき、列 A、A、A、・・・ を 『 f の ( 離散的 ) エネルギースペクトル 』 という。

よく知られているように、バネにつながれた物体の振動は Asinωx の形で表される。

むろん、A はバネの振幅を意味する。

バネ定数を k とすると、系のエネルギーは (1/2)kA である。

つまり、系のエネルギーは A で表される。

これがエネルギースペクトルという名前の由来である。

今回、f(x) は複数個の振動の重ね合わせであり、A は各変動成分の大きさを意味する。

P2

を f のエネルギースペクトルとする。

を f の複素フーリエ係数とする。

このとき、|c=A/4 ( n=0、1、2、・・・ ) である。

証明

いま、c=(1/2)a、c=(a−ib)/2 である。(※P1の証明)

よって、|c=a/4、|c=(a+b)/4 である。

定義 ( 連続的エネルギースペクトル )

f(x) を区分的に滑らかな関数とする。( 周期関数でなくてよい )

f(x) は絶対可積分であるとする。

F[f](ω) を f のフーリエ変換とする。

このとき、|F[f]| を 『 f の ( 連続的 ) エネルギースペクトル 』 という。

よく知られているように、次が成り立つ。(※パーセヴァルの等式)



つまり、パーセヴァルの等式は、f の積分を各変動成分のエネルギー密度の合計(積分)で表示している。

参考 ( エネルギースペクトルは重要な情報をもつ )

例えば、気温のデータとして f(x) を得たとする。

気温は様々な周期の変動成分をもっている。

そのため、f(x) は複雑な形をしている。

しかし、f(x)のエネルギースペクトルを計算すれば、大きなエネルギーをもつ変動成分を見つけることができる。

このように、エネルギースペクトルは、元の関数から有用な情報を取り出す。

ちなみに、エネルギースペクトルから元の関数を復元することはできない。

なぜであろうか?

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例えば、離散的エネルギースペクトル A に注目しよう。

既に述べたように、これは次の(*1)を(*2)に変形することで得られた。

(*1) S[f](x)=a/2+1≦n≦∞cos(2nπ/T)x+1≦n≦∞sin(2nπ/T)x

(*2) S[f](x)=a/2+1≦n≦∞sin((2nπ/T)x+θ

つまり、sin と cos をまとめて、その係数 A の2乗がエネルギースペクトルとなるのであった。

この2つの変動成分 a と b を知るためには、A だけでは足りない。

と θ の情報が必要である。

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また、連続的エネルギースペクトルから関数 f を復元することはできない。

例えば、|F[f](ω)|=g(ω) が与えられたとする。(★)

もし、F[f] が分かれば、フーリエ逆変換によって f を知ることができる。

しかし、(★)だけでは F[f] は分からない。

実際、F[f](ω)=g(ω)なのか、F[f](ω)=g(ω)eih(ω) なのか、判定できない。