連成振動、固有モード、2重振り子、うなり

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定義 ( 連成振動 )

相互に作用する2つ以上の振動子から成る振動運動を 『 連成振動 』 という。

定義 ( 固有モード )

振動現象が独立な複数個の単振動による重ね合わせによって表されるとする。

このとき、この単振動を 『 固有モード(基準モード) 』 という。

連成振動の自由度が2である場合、そのモードは2個である。

P1 ( バネでつながれた2つの振り子 )

水平に距離 L だけ離れた2つの固定点 O と O を考える。

固定点 O と O から、同じ長さ l の糸1・2 で質量 m の質点1・2 を吊るす。

質点間を自然長 L のバネで結ぶ。(バネ定数は k であるとする)



以下、2つの質点が微小振動する場合を考える。

θ を、糸1と鉛直線の成す角とする。

θ を、糸2と鉛直線の成す角とする。

いま、質点間を結ぶ線分は、水平と見なすことができる。

このとき、質点の運動方程式は次のように表せる。

(1) mlθ・・=−mgsinθ+kl(sinθ−sinθ

(2) mlθ・・=−mgsinθ−kl(sinθ−sinθ

ここで、ω=g/l、λ=k/m とおく。

すると、(1)と(2)は次のように表せる。

(3) θ・・=−ωθ−λ(θ−θ

(4) θ・・=−ωθ+λ(θ−θ

その一般解は次のように表される。

(5) θ=Asinωt+Bcosωt+Asin√(ω+2λ)t+Bcos√(ω+2λ)t

(6) θ=Asinωt+Bcosωt−Asin√(ω+2λ)t−Bcos√(ω+2λ)t

(1)と(2)の証明

まず、2次以上の項を無視することで、バネの伸びは l(sinθ−sinθ)と近似できる。(★)

さらに、sinθ≒θと近似すれば、l(θ−θ)である。

よって、(1)と(2)が得られる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

近似(★)は、下図において cosθ をテイラー展開して2次以上の項を無視することを意味する。

(3)と(4)の証明

これは単なる書き換えである。

(5)と(6)の証明

θ±=2−1(θ±θ) とおく。

いま、(3)と(4)の和と差により、

(*1) θ・・=θ・・+θ・・=−ω(θ+θ)=−ωθ

(*2) θ・・=θ・・−θ・・=−(ω+2λ)(θ−θ)=−(ω+2λ)θ

( 上式の両辺に注目すると、θ と θ で分離できていることが分かる )

明らかに、(*1)と(*2)の一般解は、

(*3) θ=Asinωt+Bcosωt

(*4) θ=Asin√(ω+2λ)t+Bcos√(ω+2λ)t

つまり、

(*5) θ=θ+θ=θ=Asinωt+Bcosωt+Asin√(ω+2λ)t+Bcos√(ω+2λ)t

(*6) θ=θ−θ=θ=Asinωt+Bcosωt−Asin√(ω+2λ)t−Bcos√(ω+2λ)t

補足

つまり、θ と θ は固有モードである。

θ の振動は θ−θ=0 のときに現れる。

θ の振動は θ+θ=0 のときに現れる。

つまり、θ の振動は 『 同位相 』 であり、θ の振動は 『 逆位相 』 である。

P2 ( うなり )

P1の状況を引き継ぐ。

改めて、運動方程式をここに書いておく。

(1) θ・・=−ωθ−λ(θ−θ

(2) θ・・=−ωθ+λ(θ−θ

ただし、ω=g/l、λ=k/m とおく。

ここで、バネ定数が非常に小さい場合を考える。( つまり、λ/ω<<1 )

質点 2 を、点 O の鉛直下方に静止させる。

質点 1 を、鉛直線から角度 θ だけずらして放す。

このとき、θ と θ は次のように表される。

(3) θ=θcos(λ/2ω)t・cosω’t

(4) θ=θsin(λ/2ω)t・sinω’t

ただし、ω=ω’−λ/2ω である。

補足

いま、λ/2ω は非常に小さい。

よって、cos(λ/2ω)t はゆっくりと振動する。

一方、cosω’t は速く振動する。

結果、θ や θ は細かい振動を繰り返しながら、その振幅はゆっくりと周期的に変化する。

これを 『 うなり 』 という。

θ と θ のうなりは交互に現れる。

図示すると、

証明

いま、t=0 のとき θ=θ、θ=0、θ=0、θ=0 である。

よって、

(*1) θ=B+B

(*2) 0=ωA+√(ω+2λ)A

(*3) 0=B−B

(*4) 0=ωA−√(ω+2λ)A

よって、

(*5) A=A=0

(*6) B=B=θ/2

いま、バネ定数 k は非常に小さいと仮定されている。

つまり、λ/ω<<1 である。

よって、√(ω+2λ)≒ω+λ/ω である。

ここで、ω’=ω+λ/2ω とおく。

いま、√(ω+2λ)≒ω’+λ/ω である。

よって、

P3 ( 2重振り子 )

固定点 O に長さ l の糸を付け、質量 m の質点1を吊るす。

さらに、質点1に長さ l の糸を付け、質量 m の質点2を吊るす。

θ と θ を、糸1と2が鉛直線をなす角とする。

この2重振り子を鉛直面内で微小振動させる。

このとき、運動方程式は次のように表される。

(1) θ・・=−ω(2θ−θ

(2) θ・・+θ・・=−ωθ

ただし、ω=g/l である。

また、一般解は次のように表される。

(3) θ=−B−1/2cos(ωt+α)+B−1/2cos(ωt+α

(4) θ=Bcos(ωt+α)+Bcos(ωt+α

ただし、ω=(2+√2)ω、ω=(2−√2)ω である。

補足

つまり、cos(ωt+α) と cos(ωt+α) は固有モードである。

これについて調べてみよう。

いま、質点1の x 座標は、x≒lθ である。

また、質点2の x 座標は、x≒l(θ+θ) である。

角振動数 ω の場合、x/x=−2−1/2/(−2−1/2+1)=−(√2+1) である。

角振動数 ω の場合、x/x=2−1/2/(2−1/2+1)=√2−1 である。

図示すると、

(1)と(2)の証明

点 O を原点として、水平右向きに x 軸をとり、鉛直上向きに y 軸をとる。

と S を、糸 1 と 2 の張力とする。

質点1の位置を(x、y)とし、質点2の位置を(x、y)とする。

いま、運動方程式は、

(*1) mx・・=−Ssinθ+Ssinθ

(*2) my・・=Scosθ−Scosθ−mg

(*3) mx・・=−Ssinθ

(*4) my・・=Scosθ−mg

いま、|θ|<<1、|θ|<<1 である。

よって、sinθ≒θ、cos≒1と近似してよい。

いま、y=−lcosθ≒−l で、y・・=0 である。

また、y=−l(cosθ+cosθ)≒−l で、y・・=0 である。

よって、S=2mg、S=mg である。

いま、x≒lsinθ≒lθ で、x・・=lθ・・ である。

また、x=l(sinθ+sinθ)≒l(θ+θ) で、x・・=l(θ・・+θ・・) である。

よって、

(*5) mlθ・・=−mg(2θ−θ

(*6) ml(θ・・+θ・・)=−mgθ

ここで、ω=g/l とおく。

すると、

(*7) θ・・=−ω(2θ−θ

(*8) θ・・+θ・・=−ωθ

(3)と(4)の証明

(1)と(2)は、2つの未知関数をもつ2階連立微分方程式である。

よく知られているように、その一般解は4つの任意定数である。

つまり、4つの特殊解を求め、その1次結合を作ればよい。

まず、θ=Aeiωt、θ=Beiωt とおく。

これを(1)と(2)に代入すると、

(*1) (ω−2ω)A+ωB=0

(*2) ωA+(ω−ω)B=0

いま、明らかに、次は同値である。

(*3) (*1)と(*2)が、A=B=0 以外の解をもつ。

(*4) (ω−2ω)(ω−ω)=ωω

よって、ω=±ω、±ω である。

ただし、ω=(2+√2)ω、ω=(2−√2)ω である。

’ と B’ を、+ω に対応する定数とする。

’’ と B’’ を、−ω に対応する定数とする。

すると、(*1)、(*2)より、

(*5) C=A’/B’=A’’/B’’=−ω/(ω−2ω)=−2−1/2

(*6) C=A’/B’=A’’/B’’=2−1/2

よって、次のように表せる。(※オイラーの公式:e±iθ=cosθ±isinθ)