コーシーの運動方程式、全エネルギーの式

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参考 ( 概要 )

このページでは 『 コーシーの運動方程式 』 と 『 全エネルギーの式 』 を導く。

図示すると、

復習 ( グリーンの定理 )

f(x、x、x)を3変数実数値関数とする。

V を3次元の領域とする。

S を V の表面とする。

=(n、n、n)を S の(外向き)単位法ベクトル場とする。

このとき、

復習 ( ラグランジュ微分 )

川に舟があるとする。

この舟はエンジンをもたないとする。

舟には何らかの量φを測るセンサーが付いているとする。

その時間変化率 ∂φ(t)/∂t は次のように表される。

(1) 舟がロープで岸につながている場合 : ∂φ(t)/∂t=∂φ(x、t)/∂t

(2) 舟が流されている場合 : ∂φ(t)/∂t=∂φ(x、t)/∂t+(v・∇)φ(x、t)

とくに、(2)を Dφ/Dt と表す。

つまり、D/Dt=∂/∂t+v・∇ である。

これを 『 ラグランジュの微分 』 という。

つまり、v・∇ は輸送部分である。

D/Dt は物質座標 X を固定して時間で微分することを意味する。

P1 ( 流束 )

φを連続体が帯びる任意の量とする。

φはスカラー・ベクトル・テンソルのいずれでもよい。

ただし、φは単位体積あたりの値であるとする。

V を3次元の領域とする。

S を V の表面とする。

(x、t)を連続体の流速とする。

Φ(t)を V 内のφの総量とする。

V の内部で発生はないとする。

このとき、



とくに、φがスカラーである場合は、

証明

dM を、V から dS を通って単位時間に流出する連続体の体積とする。

を S の(外向き)単位法ベクトル場とする。

θを、n と v が成す角とする。

いま、dM=dS・|v|cosθ=v・ndS=vdS である。

よって、φの流出量は∫φdM=∫φvdS=∫∂(φv)/∂xdV である。(※グリーンの定理)

P2 ( 連続の式 )

を連続体の流速とする。

このとき、

証明

P1より、



また、



よって、



よって、



つまり、

P3 ( コーシーの運動方程式 )

を 『 単位質量 』 あたりに働く物体力とする。

σを応力テンソルとする。

このとき、



成分で表すと、

補足

むろん、次のように表すこともできる。(※物質微分)

補足

とくに、釣り合いの式を 『 平衡方程式 』 という。

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1 ( P1とP2を用いずに示す )

微小体積 ΔV 中の粒子群を考える。

=(ρΔV)v を粒子群の運動量とする。

を粒子群に働く外力とする。

つまり、DP/Dt=F である。

ここで、F=F+F とおく。

ただし、F は ΔV の表面 ΔS に働く表面力である。

また、F は ΔV に働く物体力である。

いま、F=∫ΔSσ(n)dS である。

また、Fv=(ρΔV)g である。

ただし、g は 『 単位質量 』 あたりに働く物体力である。

以上により、



成分で表すと、次のようになる。(※グリーンの定理)

証明〜その2 ( P1とP2を用いて示す )

φ=ρv を、単位体積の連続体が x 方向にもつ運動量とする。

運動量の増加には表面力と物体力が寄与する。

よって、「証明〜その1」に書いた結果より、次のように計算できる。(※P1:流速、復習:グリーンの定理)



よって、



上式左辺は次のように計算できる。(※P2:連続の式)



よって、

要請 ( フーリエの法則 )

静止した連続体を考える。

連続体中には不均一な温度分布があるとする。

すると、高温から低温へ熱の流れが生じる。

つまり、熱の流れの向きは −∇T である。

を熱流束ベクトルとする。

つまり、qの向きは熱の流れと同じである。

また、qの大きさは、熱の流れ方向に垂直な単位面積を単位時間に通る熱量を意味する。

これは q=−k∇T と表せる。

定数 k を 『 熱伝導率 』 という。

つまり、フーリエの法則は 「 熱流束は温度勾配に比例する 」 を意味する。

P4 ( 全エネルギーの式 )

運動する連続体に対して次が成り立つ。



ただし、εは単位体積あたりの全エネルギーを意味する。

また、k は熱伝導率である。

また、S=S(x、t) は単位体積あたりの発熱である。( Source の頭文字 )

また、g は 『 単位質量 』 あたりの物体力である。

補足

むろん、全エネルギー式の右辺第1項を ∇・(k∇T) と表してもよい。

証明

全エネルギーの保存は、次のように表される。(※P1)



ただし、上式右辺の第1項は流れに乗って運ばれるエネルギーを意味する。

また、(1)は 「 V の表面 S で応力が成す仕事 」 であるとする。

また、(2)は 「 V の内部で物体力が成す仕事 」 であるとする。

また、(3)は 「 熱伝導によって V 入る熱量 」 であるとする。

また、(4)は 「 V 内の発熱 」 であるとする。

次のように計算できる。(※復習:グリーンの定理、要請:フーリエの法則)









以上により、



よって、



上式左辺は次のように計算できる。(※P2:連続の式)



よって、

補足

フーリエの法則は静止した連続体に関する主張である。

一方、上で考えている連続体は運動している。

ゆえに、「 この問題にフーリエの法則を用いてよいのだろうか? 」 と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、問題はない。

なぜなら、連続体の運動に関する部分は他の項に含まれているからである。