連続の式(物質表示の視点)

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) ヤコビアンは微小体積の比である。

(2) 連続の式

復習 ( 物質微分 )

川に舟があるとする。

この舟はエンジンをもたないとする。

舟には何らかの量φを測るセンサーが付いているとする。

その時間変化率 ∂φ(t)/∂t は次のように表される。

(1) 舟がロープで岸につながている場合 : ∂φ(t)/∂t=∂φ(x、t)/∂t

(2) 舟が流されている場合 : ∂φ(t)/∂t=∂φ(x、t)/∂t+(v・∇)φ(x、t)

とくに、(2)を Dφ/Dt と表す。

つまり、D/Dt=∂/∂t+v・∇ である。

これを 『 物質微分(ラグランジュ微分)』 という。

つまり、v・∇ を 『 移流項 』 という。

D/Dt は物質座標Xを固定して時間で微分することを意味する。

参考 ( ヤコビアンは微小体積の比である )

ΔV=ΔXΔXΔX を X空間における微小直方体とする。

ΔV を x(X、t)による ΔV の像とする。

J を x(X、t) のヤコビアンとする。

このとき、J=ΔV/ΔV である。

補足

ヤコビアンの定義を確認すると、

証明

ΔX(1)、ΔX(2)、ΔX(3) をX空間の各座標軸に平行な微小ベクトルとする。

Δx(1)、Δx(2)、Δx(3) を、x(X、t)による ΔX(1)、ΔX(2)、ΔX(3) の像とする。

ΔV を、ΔX(1)、ΔX(2)、ΔX(3) から成る直方体の体積とする。

ΔV を、Δx(1)、Δx(2)、Δx(3) から成る平行6面体の体積とする。



いま、



ベクトル a、b、c から成る平行6面体の体積は、det(a、b、c)である。(※スカラー3重積)

よって、

P1 ( 発散〜物質表示 )

よく知られているように、div(v)・ΔV は次の意味をもつ。

(1) 空間に固定された微小体積 ΔV からの単位時間あたりの正味流出体積

ただし、div(v)・ΔV を次のように見なすこともできる。

(2) 粒子群が形成した体積 ΔV の単位時間あたりの変化

つまり、



つまり、

補足

これは熱力学で知られる等温膨張率の式などと同じ形である。

(*)証明の証明 ( 物質表示の視点 )

ヤコビアンは次のように表される。



物質微分すると、



いま、



よって、



上式の計算では p=1 の項だけが残っていることに注意。

これは 「 同じ行をもつ行列式 」 の値が 0 になることによる。

つまり、



さて、(*1)と(*2)より、



よって、



一方、J=ΔV/ΔV である。(※参考:ヤコビアンは微小体積の比である)

よって、

P2 ( 連続の式 )

連続体(密度ρ)に対して次が成り立つ。

補足

これを 『 連続の式 』 という。

証明

いま、次が成り立つ。(※質量保存則)



また、次が成り立つ。(※P1)



よって、



つまり、