ガウスの発散定理→連続方程式

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P1 ( ガウスの発散定理 )

(x、x、x)をベクトル場とする。

S を閉曲面とする。

(x、x、x)を S 上の単位法ベクトル場とする。

このとき、

補足

∇・v を div(v) と表す本もある。

補足

流体力学では密度としてスカラー関数ρ(x、x、x)を考えることが多い。

この場合、密度流ρvに対し、

証明

次のように計算できる。

P2 ( 連続方程式 )

連続体(密度ρ)に対して次が成り立つ。

証明

閉曲面の内部に含まれる全質量の単位時間あたりの増加は、



閉曲面の内部へ流入する単位時間あたりの質量は、



よって、次を得る。(※質量保存則)



一方、次が成り立つ。(※P1:ガウスの発散定理)



よって、



つまり、



閉曲線は任意であるから、