レイノルズの輸送定理→コーシーの運動方程式

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) レイノルズの輸送定理

(2) 連続の式

(3) コーシーの運動方程式

(4) 応力テンソルの対称性

復習 ( 物質座標 )

ある粒子が時刻 t=t に位置 X にあるとする。

このとき、この粒子を X と呼ぶ。

このような X を 『 物質座標 』 という。

つまり、初期時刻 t=t での粒子の位置を粒子の名称として採用する。

ある粒子が時刻 t=t に位置 X にあるとする。

その後、この粒子は移動し、時刻 t に位置 x にあるとする。

これを x=x(X、t) と表す。

連続体では x は連続関数であり、すべての点が1対1で対応していると考える。

つまり、X=X(x、t) と表すことができる。

つまり、x=x(X、t) を X について解いて、X=X(x、t) と表すことができる。

復習 ( 物質微分 )

川に舟があるとする。

この舟はエンジンをもたないとする。

舟には何らかの量ηを測るセンサーが付いているとする。

その時間変化率 dη(t)/dt は次のように表される。

(1) 舟がロープで岸につながている場合 : dη(t)/dt=∂η(x、t)/∂t

(2) 舟が流されている場合 : dη(t)/dt=∂η(x、t)/∂t+(v・∇)η(x、t)

とくに、(2)を Dη/Dt と表す。

つまり、D/Dt=∂/∂t+v・∇ である。

これを 『 物質微分(ラグランジュの微分)』 という。

つまり、v・∇ を 『 移流項 』 という。

D/Dt は物質座標 X を固定して時間で微分することを意味する。

復習 ( 勾配テンソル )

F=dx/dX を 『 変形勾配テンソル 』 という。

du/dX を 『 変位勾配テンソル 』 という。

L=dv/dx を 『 速度勾配テンソル 』 という。

微小変形理論では du/dX=du/dx となる。

ゆえに、微小変形理論では du/dx も 『 変位勾配テンソル 』 と呼ばれる。

むろん、F=dx/dX は物質表示(ラグランジュ表示)である。

また、L=dv/dx は空間表示(オイラー表示)である。

変位勾配テンソルの対称部分を 『 歪みテンソル 』 という。

速度勾配テンソルの対称部分を 『 歪み速度テンソル 』 という。

参考 ( 体積歪 )

εを歪みテンソルとする。

変形によって生じる単位体積あたりの体積変化量は trε である。

補足

変形速度テンソルの対角成分は ε11=∂v/∂x、ε22=∂v/∂x、ε33=∂v/∂x である。

これは各座標軸方向の延びの速度である。

つまり、対角成分の和 trε=div(v)は体積歪み速度である。

つまり、

証明

立方体の体積を V=L とする。(★1)

x軸、y軸、z軸方向の主歪を e、e、e とする。

変形後の体積は (1+e)(1+e)(1+e)L である。(★2)

よって、体積変化は (★2)−(★1) より、ΔV≒(e+e+e)L である。

よって、単位体積あたりの体積変化量は ΔV/V=e+e+e である。

また、よく知られているように、trεはテンソルの座標変換不変量である。

よって、ΔV/V=trεである。

復習 ( ヤコビアンは微小体積比である )

変換前の微小平行六面体の体積を dV とする。

変換後の微小平行六面体の体積を dv とする。

このとき、ヤコビアンは J=dv/dV である。

P1 ( レイノルズの輸送定理 )

(X、t) を連続体の運動とする。

つまり、X は物質座標であり、x は空間座標である。

ηを物質点に付く任意の物理量とする。( つまりηはスカラー、ベクトル、テンソルのいずれでもよい )

V(t)を時刻 t の空間座標における連続体全体に相当する領域とする。

このとき、

補足

∂V(t) は V(t) の表面を意味する。

補足

次のことに注意する。



つまり、微分と積分の交換はできない。

なぜなら、積分範囲 V(t) が時間に依存して変化するからである。

証明

いま、dV=JdV=(detF)dV である。(※復習:ヤコビアンは微小体積比)

また、D(dv)/dt=div(v)dV である。(※参考(体積歪)の補足)

よって、



つまり、DJ/Dt=Jdiv(v)である。

よって、次のように計算できる。(※ガウスの発散定理)

要請 ( 質量保存則 )

ρ(x、t) を密度関数とする。

このとき、

P2 ( 連続の式 )

(x、t) を速度ベクトル場とする。

これは Dx(X/、t)/Dt=∂x(X、t)/∂t の空間表示である。

このとき、Dρ/Dt+ρdiv(v)=0 である。

むろん、これを∂ρ/∂t+div(ρv)=0 と表すこともできる。(※復習:物質微分)

補足

連続の式は 「 局所的な質量保存則 」 である。

証明

次のように計算できる。(※P1:レイノルズの輸送定理)



質量は任意の領域で保存されると考えられる。

よって、被積分関数は 0 である。

つまり、Dρ/Dt+ρdiv(v)=0 である。

P3 ( 積分の物質微分 )

ηを 『 単位質量 』 あたりの物理量とする。

ρ(x、t) を密度関数とする。

このとき、

証明

次のように計算できる。(※P1:レイノルズの輸送定理、P2)

P4 ( コーシーの運動方程式 )

(x、t)を速度ベクトル場とする。

これは Dx(X、t)/Dt=∂x(X、t)/∂t の空間表示である。

σを応力テンソルとする。

を物体力とする。( 例えば、重力だと思えばよい )

このとき、

証明

V(t)を時刻 t の空間座標における任意の領域とする。

を、V(t)の表面∂V(t)を介して働く表面力とする。

いま、領域 V(t) において次が成り立つ。(※ニュートンの第2法則、ガウスの発散定理)



一方、P3より、



よって、



上式は任意の領域 V で成り立つ。

よって、

P5 ( 応力テンソルの対称性 )

応力は対称テンソルである。

証明

原点まわりの力のモーメントの釣り合いは、



成分で表すと、



いま、次のように計算できる。(※ t=σn、ガウスの発散定理)



よって、



いま、divσ+ρg=0 である。(※P4:コーシーの運動方程式)

よって、



積分領域 V は任意であるから、εijkσkj=0 である。

つまり、σ32−σ23=0、σ13−σ31=0、σ21−σ12=0 である。

つまり、σ=σ である。