離散的フェイエルの定理、ワイエルシュトラスの多項式近似〜解析的証明ver

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定義 ( C

閉区間 [a、b] 上の連続関数全体を C[a、b] と表す。

明らかに、C[a、b] はベクトル空間である。

定義 ( Cper、Cbdy、Csupp

次のように定義する。

(*1) Cper[a、b]={ f∈C[a、b]|f(a)=f(b) }

(*2) Cbdy[a、b]={ f∈C[a、b]|f(a)=0、f(b)=0 }

(*3) Csupp[a、b]={ f∈C[a、b]|suppf⊂(a、b) }

とくに、f∈Cper[a、b] を 『 [a、b]上の周期関数 』 という。

明らかに、(*1)〜(*3)は、C[a、b] の部分空間である。

むろん、Cper[0、1] と Cper[−1/2、1/2] は本質的に同じである。

定義 ( e

k を整数とする。

次のように定義する。

明らかに、e∈Cper[0、1] である。

実際、e(x+1)=exp(2πiN(x+1))=exp(2πiNx)exp(2πiN)=exp(2πiNx)=e(x)である。

むろん、eix=cosx+isinx である。

これは 『 オイラーの公式 』 として複素解析でよく知られている。

明らかに、|eix|=1 である。

定義 ( 3角級数、3角多項式 )

(cn∈ を複素数列とする。

ここで、次のような式を考える。



これを 『 3角級数 』 という。

とくに、3角級数の和が有限和であるとき、これを 『 3角多項式 』 という。

定義 ( フーリエ係数 )

f∈Cper[0、1] とおく。

k を整数とする。

次のように定義する。



このとき、f(k)を 『 f のフーリエ係数 』 という。

定義 ( フェイエル級数 )

f∈Cper[0、1] とおく。

N≧0 を整数とする。

次のように定義する。



このとき、σ[f] を 『 f のフェイエル級数 』 という。

明らかに、σ[f]∈Cper である。

実は、σ[f] は f の近似である。

このことは、後で 『 フェイエルの定理 』 として示される。

定義 ( 離散的フェイエル核 )

次のように定義する。



このとき、K(t) を 『 フェイエル核 』 という。

Z1 ( 補題 )

次が成り立つ。

証明

次のようにおく。



#I を I の元の個数とする。

いま、#I =N+1−|m|である。(★)

よって、

(★)について補足

これが成り立つことは、例えば、m=0、1、−1、2、−2 について考えれば分かる。

実際に書き下すと、#I=N+1、#I=N、#I−1=N、#I=N−1、#I=N−1、・・・である。

Z2 ( 離散的フェイエル核の性質 )

次が成り立つ。

補足

(2)より、任意の t∈ に対して K(t)≧0 である。

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

以下、exp2πit を e(t) と表す。

いま、e(−t/2)−e(t/2)=(−2i)sinπt である。

Z1より、

(3)の証明

いま、



よって、

Z3

f∈Cper とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

計算すると、

Z4

0<δ<1/2 とおく。

J={ t∈[−1/2、1/2]:|t|≧δ} とおく。

このとき、K(t) は J 上で 0 に一様収束する。

補足

つまり、∫[−1/2、−δ](t)dt+∫[δ、1/2](t)dt→0 ( N→∞ ) である。

よって、∫[δ、1/2](t)dt→0 ( N→∞ ) である。

一方、∫[0、1](t)dt=1である。(※Z2)

つまり、[0、1]上での積分値は一定だが、[δ、1/2]上での積分値は 0 に近づく。

これは 「 N が大きくなると、K(t)の原点におけるピークが高く鋭くなる 」 を意味する。

実際に、K(t)のグラフを図示すると、

証明

t∈J とおく。

いま、|sinπt|≧sinπδである。(※グラフを描いて考えると分かりやすい)

よって、Z2(2)より、



上式の収束は t に依存していない。

つまり、K(t)は J 上で一様収束する。

Z5 ( 離散的フェイエルの定理 )

f∈Cper[0、1] とおく。

このとき、任意の ε>0 に対し、ある自然数 N が存在して、次が成り立つ。

(*) n≧N ⇒ supt∈[0、1]|σ[f](t)−f(t)|<ε

補足

むろん、(*)を次のように表しても意味は同じである。

(*1) n≧N ⇒ 「 任意の t∈[0、1] に対して|σ[f](t)−f(t)|<εである 」

あるいは、次のように表すこともある。

(*2) || σ[f]−f ||→0 ( n→∞ )

この || ・ || を 『 一様ノルム 』 という。

補足

むろん、σ[f]∈Cper[0、1] である。

よって、supt∈[0、1] を supt∈[−1/2、1/2] と表しても意味は同じである。

証明

ε>0 とおく。

いま、ある δ>0 が存在して、|x−y|<δ⇒|f(x)−f(y)|<εとなる。

よって、Z2より、



いま、ある定数 M>0 が存在して、[−1/2、1/2]上で|f|≦M となる。

J={ s∈[−1/2、1/2]:|s|≧δ } とおく。

いま、ある自然数 N が存在して、J上で n≧N ⇒|K(s)|<ε/M となる。(※Z4)

よって、



同様に、



(*1)〜(*3)より、

Z6 ( f=g ⇒ f=g )

f、g∈Cper[0、1] とおく。

任意の整数 k に対し、f(k)=g(k) であるとする。

このとき、f=g である。

証明

いま、任意の n、t に対し、σ[f](t)=σ[g](t)である。(※定義:フェイエル級数)

よって、f(t)=limn→∞σ[f](t)=limn→∞σ[g](t)=g(t)である。(※Z5)

Z7 ( 「離散的フェイエルの定理」の系 )

f∈Cper[0、1] とおく。

このとき、任意の ε>0 に対し、ある3角多項式 Pε(t) が存在して、次を満たす。

(*) supt∈[0、1]|f(t)−Pε(t)|<ε

補足

=span{ 1、cos2πx、sin2πx、・・・、cos2πnx、sin2πnx } と定義する。

T=∪1≦n≦∞ と定義する。

すると、上の定理は 「 T は Cper[0、1] において稠密である 」 と表現できる。

証明

むろん、σ[f](t)は3角多項式である。

つまり、この定理は Z5(フェイエルの定理) の言い換えである。

Z8 ( CT は C[−1/2、1/2] において稠密である )

f∈Cper[−1/2、1/2] を偶関数とする。

( つまり、任意の t∈ に対して f(−t)=f(t) である )

このとき、任意の ε>0 に対し、ある a、・・・、a が存在して、次を満たす。

(*) supt∈[−1/2、1/2]|f(t)−0≦k≦Ncos2πkt|<ε

補足

CT={ 1、cos2πx、・・・、cos2πnx } と定義する。

CT=∪1≦n≦∞CT と定義する。

すると、上の定義は 「 CT は C[−1/2、1/2] において稠密である 」 と表現できる。

証明

まず、



よって、



一方、Z5より、



よって、定理が成り立つ。

Z9 ( チェビシェフの多項式 )

n 次多項式 T を次のように定義する。

(*1) T(x)=1

(*2) T(x)=x

(*3) T(x)=2xTm−1(x)−Tm−2(x)

このとき、次が成り立つ。

(1) T (n≧1) の最高次係数は 2n−1 である。

(2) T(cosθ)=cos(nθ)

補足

つまり、T(x)は実係数の多項式である。

証明

n=1の場合、(1)と(2)が成り立つことは明らかである。

n<m の場合について(1)と(2)が成り立つとする。

よく知られているように、cosαcosβ=2−1(cos(α+β)−cos(α−β))である。

よって、



これで(2)が示された。

また、帰納法の仮定より、T の最高次係数は 2・2m−2=2m−1 である。

Z10 ( ワイエルシュトラスの多項式近似 )

f∈Cper とおく。

このとき、任意の ε>0 に対し、ある多項式 Pε が存在して、次を満たす。

(*) supt∈[−1/2、1/2]|f(t)−Pε(t)|<ε

補足

多項式 Pε の係数は複素数の範囲である。

証明

g(t)=f(2−1cos2πt)と定義する。

いま、g∈Cper である。

また、g(t)=g(−t)である。

ε>0 とおく。

いま、ある a、・・・、a が存在して、次が成り立つ。(※Z8)

(*) supt∈[−1/2、1/2]|g(t)−0≦k≦Ncos2πkt|<ε

また、ある実係数多項式 T が存在して、T(cos2πt)=cos2πkt となる。(※Z9)

つまり、(*)は supt∈[−1/2、1/2]|f(2−1cos2πt)−0≦k≦N(cos2πt)|<ε と表せる。

ここで、x=2−1cos2πt とおく。

いま、−1/2≦t≦1/2 とすると、−1/2≦x≦1/2 である。

よって、supx∈[−1/2、1/2]|f(x)−0≦k≦N(2x)|<εである。

ここで、Pε(x)=0≦k≦N(2x)とおく。

すると、supx∈[−1/2、1/2]|f(x)−Pε(x)|<εである。