離散スペクトル→連続スペクトル→シュレディンガの量子化

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参考 ( スペクトルとは? )

スペクトルは 『 固有値全体 』 を意味する。

例えば、x軸上の長さ L の区間を N 個の小区間に分割する。

いま、x を粒子の位置オペレータとすると、x の固有値は N 個である。

つまり、これは離散スペクトルである。

ここで、N→∞、L→∞ とすると、連続スペクトルに近づく。

定義 ( ディラックのデルタ )

関数 δ(x) が存在して、次を満たす。



このとき、δ を 『 ディラックのデルタ 』 という。

とくに、f(x)=1 (定値関数) を選ぶと、

とくに、a<c<b に対して次が成り立つ。

一般に、f(x) に対して f(x)δ(x−x’)=f(x’)δ(x−x’) である。

なぜなら、δ(x−x’)が 0 以外の値をとる点は x=x’ のみだからである。

ちなみに、同様の関係は 『 クロネッカのデルタ 』 にもある。

実際、Aδmn=Aδmn である。

P1 ( デルタ関数の性質 )

次が成り立つ。

補足

以下の証明は分かる範囲で理解すればよい。

詳細は超関数論によって正当化される。

(1)の証明

f(x) を任意の連続関数とする。

f のフーリエ変換は、



これをフーリエ逆変換すると元に戻る。(※フーリエ反転公式)

つまり、



つまり、



一方、定義(ディラックのデルタ)より、



よって、



上では変数変換(k→−k)を行った。

x と k を入れ替えると、

(2)の証明

次のように計算できる。



よって、



上式が任意の f(x) に対して成り立つので、

(3)の証明

次のように計算できる。

定義 ( 完全性 )

φ を関数系とする。

任意の関数ψに対し、ψ=φ と展開できるとする。

このとき、φ を 『 完全系 』 という。

むろん、上記の定義では何らかの関数空間が定まっているとする。

つまり、上記の 「 任意の関数ψ 」 は、この関数空間での任意関数を意味する。

むろん、関数空間は関数をベクトルと見なした集合である。

とくに、関数ψをベクトルと見なすときは |ψ〉 と表す。

要請 ( 離散スペクトル )

をエルミートオペレータとする。

いま、A の固有関数から成る完全正規直交系 |φ〉 が存在する。(※要請)

つまり、次が成り立つ。

(1)は |φ〉 が A の固有ベクトルであることを意味する。

また、a は |φ〉 に伴う固有値である。

(2)は |φ〉 の正規直交性を意味する。

(3)は |φ〉 の完全性を意味する。

ここで、

「 なぜ(3)が完全性を意味することになるのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

これについて説明する。

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まず、|φ〉 の完全性を仮定する。

いま、|φ〉〈φ|ψ〉=m、n|φ〉〈φ|φ〉=|φ〉=|ψ〉 である。

これは |φ〉〈φ|=1 を意味する。

逆に、|φ〉〈φ|=1 を仮定する。

いま、|ψ〉=1|ψ〉=|φ〉〈φ|ψ〉=|φ〉 である。

ただし、c=〈φ|ψ〉 とおいた。

これは任意のψが |φ〉 によって展開されることを意味する。

ψを任意関数とする。

いま、|ψ〉=|φ〉 と展開できる。(※完全性)

このとき、展開係数は c=〈φ|ψ〉 である。

実際、〈φ|ψ〉=〈φ|φ〉=〈φ|φ〉=c である。(※正規直交性)

ただし、このことは既に上にも書いた。

要請 ( 連続スペクトル )

をエルミートオペレータとする。

いま、A の固有関数から成る完全正規直交系 |φ〉 が存在する。(※要請)

( ただし、|φ〉 の a は連続量である )

つまり、参考(離散スペクトル)に対応して次が成り立つ。

むろん、(1)において、a|φ〉 に書かれている2つの a は区別する。

つまり、(2)は 『 デルタ関数による規格化 』 である。

(3)について説明する。

まず、|φ〉 の完全性は 「 任意の|ψ〉 は |ψ〉=∫c|φ〉da と展開される 」 を意味する。

よって、∫da|φ〉〈φ|ψ〉=∬ca’|φ〉〈φ|φa’〉dada’=∫c|φ〉da=|φ〉 である。

つまり、∫da|φ〉〈φ|=1 である。

P2

連続スペクトル a をもつ完全正規直交系としてデルタ関数 δ(a−a’) を採用できる。

証明

明らかに、次が成り立つ。

(*1) ∫δ(a−a’)δ(a−a’’)da=δ(a’−a’’)

(*2) ψ(a)=∫ψ(a’)δ(a−a’)da’

いま、(*1)はδ(a−a’)の正規直交性を意味する。

また、(*2)はδ(a−a’)の完全性を意味する。

定義 ( 運動量オペレータ〜その1:交換関係ver )

を位置オペレータとする。

あるオペレータ p が存在して次を満たすとする。



このとき、p を 『 運動量オペレータ 』 という。

定義 ( 運動量オペレータ〜その2:表現行列ver )

を位置オペレータとする。

あるオペレータ p が存在して次を満たすとする。



このとき、p を 『 運動量オペレータ 』 という。

定義 ( 運動量オペレータ〜その3:展開係数ver )

を位置オペレータとする。

あるオペレータ p が存在して次を満たすとする。



このとき、p を 『 運動量オペレータ 』 という。

注意

以下、定義(運動量オペレータ〜その1)から出発して、定義(〜その2)と定義(〜その3)を導く。

逆に、定義(〜その3)から定義(〜その2)を導くことも可能である。

量子力学の初歩では、運動量オペレータは次のように定義されることが多い。



しかし、今回はこれを忘れてよい。

P3

を位置オペレータとする。

|x〉 を x を固有ベクトルから成る完全正規直交系とする。(※要請)

このとき、

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

次のように計算できる。

P4 ( pの x 表示、xの p 表示 )

を位置オペレータとする。

を運動量オペレータとする。

|x〉 を x を固有ベクトルから成る完全正規直交系とする。(※要請)

このとき、

補足

(1)を 『 p の x 表示(座標表示)』 という。

(2)を 『 x の p 表示(運動量表示)』 という。

(1)の証明

いま、P3より、



一方、定義(運動量オペレータ)より、



よって、(*1)と(*2)より、次が成り立つ。(※P1)

(2)の証明

いま、P3より、



また、定義(運動量オペレータ)より、



よって、(*1)と(*2)より、次が成り立つ。(※P3)

参考 ( シュレディンガの量子化 )

任意の関数 f に対して次が成り立つ。

補足

つまり、次の対応関係がある。



これを 『 シュレディンガの量子化 』 という。

証明

P4より、



上では積分と微分の順序を入れ替えた。

この入れ替えは正当である。

実際、微分は x に関するもので、積分は x’ に関するものであり、x と x’は独立している。

P5 ( |p〉 の x 表示 )

を運動量オペレータとする。

|p〉 を p の固有ベクトルとする。

このとき、



また、





補足

つまり、p の(連続)スペクトルは完全正規直交系である。

補足

P4 の 〈x’|p|x’’〉 は p の x 表示である。

今回の 〈x|p〉 は |p〉 の x 表示である。

つまり、ここでは p の x 表示から |p〉 の x 表示 を導く。

(1)の証明

これは仮定そのままである。

(0)の証明

|x〉 を x の固有ベクトルから成る完全正規直交系とする。(※要請)

いま、P4(1)より、



一方、〈x|p|p〉=p〈x|p〉 である。

よって、



ここで、φ(x)=〈x|p〉 とおく。

すると、



これは微分方程式である。

その一般解は、



よって、P1より、



よって、



つまり、

(2)の証明

|x〉 を x の固有ベクトルから成る完全正規直交系とする。(※要請)

いま、|p〉=1|p〉=∫dx|x〉〈x|p〉=∫〈x|p〉|x〉dx である。

よって、(0)より、

(3)の証明

|x〉 を x の固有ベクトルから成る完全正規直交系とする。(※要請)

いま、|p〉=1|p〉=∫dx|x〉〈x|p〉=∫〈x|p〉|x〉dx である。

よって、(0)より、次のように計算できる。(※P1)