離散データ、エイリアシング、離散フーリエ変換

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参考 ( convolution のフーリエ変換はフーリエ変換の積となる )

f(x) と g(x) を、区分的に滑らかな関数とする。

f(x) と g(x) は、連続であるとする。

f(x) と g(x) は、絶対可積分であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F[f*g]=F[f]F[g]

(2) 2πF[f(t)g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]

補足

f*g は 「 f と g の convolution 」 を意味する。

convolution は 「 合成積 」 または 「 たたみ込み積分 」 と呼ばれることも多い。

証明

省略する。

参考 ( フーリエ変換の分解能は約 2π/T )

f(x) を絶対可積分な関数とする。

つまり、



いま、f(x)→0 ( |x|→∞ ) である。

ここで、次のようにおく。



このとき、次が成り立つ。(※参考:convolution のフーリエ変換はフーリエ変換の積となる)



むろん、



つまり、F[g](ω−s) を s の関数として見なすと、F[g](ω−s) は s=ω を中心とする偶関数である。

また、F[g](ω−s) は s=ω にピークをもつ。

また、F[g](ω)=0 となる最小の ω>0 は ω=2π/T である。

つまり、F[g](ω−s) が s=ω でもつピーク幅は約 2π/T である。



T を十分大とすると、F[g](ω−s) が微小でない区間は、ω付近のみである。

よって、F[f](ω)F[g](ω−s) の近似として F[f](s)F[g](ω−s) を採用できると予想される。

フーリエ逆変換公式より、



ここで、x=0 とすると、次が成り立つ。(※g(0)=1)



よって、



つまり、T が十分大ならば、F[f] は F[f] によって近似される。

既に述べたように、F[g](ω−s) の幅は 2π/T 程度である。

よって、F[f](ω) が 2π/T より小さい幅で変化しても、F[g](ω−s)を掛けて積分することで消える。

この意味で、F[f](ω)の分解能は 2π/T 程度である。

定義 ( 離散データ )

f(x) を周期 T の関数とする。

=f(x)、x=nΔx、Δx=T/M とおく。

明らかに、fn+M=f である。

このとき、f を 『 周期 M の離散データ 』 という。

今回の定義では、最初に f が与えられていて、そこから離散データを定義した。

しかし、以下では最初に離散データのみが与えられているとして議論する。

注意

簡略化のため、以下の議論では M は偶数であるとする。

定義 ( 離散データのフーリエ係数 )

を周期 M の離散データとする。

次のように定義する。



ただし、m は整数である。

このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

f(x) を元の連続データとする。

その複素フーリエ級数は、



むろん、離散データだけから c を厳密に求めることは不可能である。

ただし、近似的に計算することはできる。

まず、被積分関数 f(x)exp(−i(2πk/T)x) に注目する。

この関数を離散化して、x−Δx/2≦x≦x+Δx/2 で、一定値 fexp(−i(2πk/T)x) をとるとする。

離散化された関数の複素フーリエ係数を c と表すと、



つまり、定義の式が得られた。

また、n→∞ で、c は c に近づくと予想される。

P1 ( サンプリング定理〜その1 )

を周期 M の離散データとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) cm+M=c

(2) c−m=c

補足

(2)より、m=M/2+1、・・・、M に対する c は、m=M/2−1、・・・、0 に対する c によって定まる。

また、c は周期 M をもつ。

つまり、m=0、・・・、M/2 の値だけで c の値が定まる。

これを 『 サンプリング定理 』 という。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

明らかである。

P2 ( 最短周期は 2T/M である )

1周期あたり M 個の離散データが与えられているとする。

つまり、サンプリング周期は Δx=T/M である。

このとき、これらのデータによって表せる最短周期は 2T/M である。

補足

T/M ではなくて 2T/M となることが重要である。

証明

明らかである。(※P1の補足)

例えば、M=4 とすると、最短周期は T/2 である。

例えば、M=6 とすると、最短周期は T/3 である。



P3 ( 離散データのフーリエ級数展開 )

を周期 M の離散データとする。

このとき、

補足

むろん、これは連続データのフーリエ級数に相当する式である。

ただし、連続データの場合と異なり、和が有限項となっている。

また、連続データでは、−M/2≦m≦M/2 あるいは 0≦m≦M とすることが自然だが、

今回の離散データでは、0≦m≦M−1 となっている。

むろん、これは P1(1) や P2 に基づく。

証明

次のようにおく。( ただし c は f のフーリエ係数である )



( ただし、n=0、1、・・・、M−1 である )

( 上式の第2項は、m の下限 −M/2 からの寄与を 1/2 としたものである )

( 上式の第3項は、m の上限 M/2 からの寄与を 1/2 としたものである )

上限と下限の寄与を 1/2 とした理由を簡単に図示すると、



( M は偶数と仮定しているので、M/2 は整数である )

( 以下、g(x)=f となることを示す )

次のように計算できる。(※T=MΔx、x=nΔx)



とくに、次が成り立つ。



ただし、m=m+M とおいた。

よって、



一方、定義より、



よって、



いま、





ただし、上の計算では、次の公式を用いた。



いま、−M+1≦n−n≦M−1 である。

よって、n=n+jM ( j≠0 ) は成り立たない。

よって、(*1)〜(*3)より、g(x)=f である。

つまり、

P4 ( エイリアシング )

を周期 M の離散データとする。

f(x) を f に対応する連続データとする。

を f のフーリエ係数とする。

を f のフーリエ係数とする。

このとき、

補足

jM−m≧M/2、m+jM≧M/2 であることに注意。

つまり、c ( m=0、・・・、M/2 ) に、m≧M/2 の寄与が混ざっている。

この現象を 『 エイリアシング 』 という。

つまり、c ( m≧M/2 ) が 0 に近ければ、f のフーリエ係数は(離散データから)良い精度で得られる。

補足

いま、cM−m は、m=M/2 に関して折り返して重ねた形である。

そこで、m=M/2 に相当する周波数を 『 ナイキスト周波数 』 という。

つまり、ナイキスト周波数とは、T/(M/2)の逆数 (M/2)/T=1/(2Δx) である。

( むろん、Δx=T/M はサンプリング周期である )

証明

いま、



x=x=nΔx=n(T/M) とおくと、



よって、定義(離散データのフーリエ係数)より、



いま、





ただし、上の計算では、次の公式を用いた。



よって、(*1)〜(*3)より、

定義 ( 離散フーリエ変換 )

を周期 M の離散データとする。

次のように定義する。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

いま、x の長い区間に対して多量のデータが得られたとする。

しかし、特定の区間のデータのみを取り出したい場合もある。

そこで、f(x) は −Δx/2≦x≦T−Δx/2 の外では 0 をとるとする。

つまり、T は取りだした区間の長さを意味する。

また、Δx=T/M である。( つまり、Δx はサンプリング周期である )

いま、f、・・・、fM−1 のみが 0 でない値をとりうる。



また、フーリエ変換の分解能は 2π/T 程度である。(参考:フーリエ変換の分解能は約 2π/T )

そこで、ω=2πm/T ( m は整数 )、x=nΔx として次のように定義する。



つまり、

P5 ( サンプリング定理〜その2 )

を周期 M の離散データとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F[fm+M]=F[f

(2) F[f−m]=F[f

(3) F[fM−m]=F[f

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

計算すると、

(3)の証明

(1)と(2)より明らかである。