電気回路と微分方程式:RL回路、RC回路、LC回路、RLC回路

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定義 ( コイル、インダクタンス )

鉄芯に導線を巻き付けた素子を 『 コイル 』 という。

電流が一定である場合、コイルは通常の導線と同じである。

電流が時間的に変化する場合、コイルは、その変化を妨げる方向に起電力を生む。

この現象を 『 電磁誘導 』 という。

これは E=−LdI/dt で表される。

は電位差、I は電流である。

また、L はコイルによって定まる定数である。

L を 『 インダクタンス 』 という。

参考

例えば、電位は下図のようになる。

このような回路を 『 RL回路 』 という。( 詳しいことは後で扱う )

コイルの式 E=−LdI/dt には微分が入っているが、基本的には抵抗と同じようなものとして考えられる。

むろん、E(t)−RI(t)−LdI/dt=0 である。(キルヒホフの法則)

定義 ( コンデンサ、キャパシタンス )

向かい合う2枚の電極によって構成される素子を 『 コンデンサ 』 という。

電極間に電位差が生じると、電荷が移動し、素子内に電荷が蓄積される。

これは Q=−CE で表される。

ただし、Q は蓄積される電荷であり、E は電極間の電位差である。

また、C はコンデンサによって定まる定数である。

C を 『 キャパシタンス 』 という。

むろん、Q(t)はコンデンサに流れ込む電流 I(t) の総和である。

よって、次のように表せる。



むろん、これは dQ/dt=I(t) を意味する。

参考

例えば、電位は下図のようになる。

このような回路を 『 LC回路 』 という。( 詳しいことは後で扱う )

むろん、E(t)−Q(t)/C−LdI/dt=0 である。(キルヒホフの法則)

参考

以下、E や I は初期値を意味する。

つまり、E(0)=E であり、I(0)=I である

P1 ( RL回路 )

RL回路に関して次が成り立つ。

補足

RL回路を図示すると、

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

(1)より、0=RI+LdI/dt である。

よって、∫(1/I)dI=−∫(R/L)dt である。

よって、ln|I|=−(R/L)t+A である。

よって、I(t)=Ae−(R/L)t である。

よって、I(t)=I−(R/L)t である。

(3)の証明

(1)より、



よって、



よって、



よって、



よって、



よって、

(4)の証明

(1)より、



(*1)の斉次式は、



その一般解は、I(t)=Ae−(R/L)t である。

ここで、A を A(t) と見なして、非斉次方程式に代入する。(定数変化法)

すると、RAe−(R/L)t+LA’e−(R/L)t+LA(−R/L)e−(R/L)t=Esinωt である。

つまり、A’Le−(R/L)t=Esinωt である。

よって、



よって、



よって、



つまり、



よって、

P2 ( RC回路 )

RC回路に関して次が成り立つ。

補足

RC回路を図示すると、

(1)の証明

明らかに、E(t)=RI+Q/C である。

一方、dQ/dt=I である。

よって、E(t)=RdQ/dt+Q/C である。

(2)の証明

(1)より、



よって、



よって、



よって、



よって、



よって、

(3)の証明

(1)より、



よって、



よって、



よって、



よって、



よって、



よって、

(4)の証明

(1)より、



(*1)の斉次式は、



その一般解は、



ここで、A を A(t) に置き換えて、I(t) を(*1)に代入する。(定数変化法)

すると、



よって、



よって、



また、



つまり、



よって、

P3 ( LC回路 )

LC回路に対して次が成り立つ。

補足

RC回路を図示すると、

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

(1)より、C−1Q+LQ’’=0 である。(※Q’=I)

つまり、Q’’+(LC)−1Q=0 である。

その特性方程式は、λ+(LC)−1λ=0 である。

よって、λ=±(LC)−1/2i である。

よって、一般解は Q(t)=Acos(LC)−1/2t+Bsin(LC)−1/2t である。

いま、Q(0)=A=Q である。

また、Q’(0)=B(LC)−1/2=0 である。

よって、Q(t)=Qcos(LC)−1/2t である。

(3)の証明

(2)より明らかである。

P4 ( RLC回路 )

RLC回路に対して次が成り立つ。

補足

RLC回路を図示すると、

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

定義 ( コイルのインピーダンス )

L をコイルのインダクタンスとする。

いま、電流 I が、Isinωt や Icosωt の形で表されるとする。

このとき、iωL を 『 インピーダンス 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

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まず、オームの法則を復習する。

オームの法則より、抵抗に対して E=−RI が成り立つ。

これを式変形すると、R=−E/I である。

つまり、抵抗は 「 電圧と電流の比 」 で表される。

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一方、コイルに注目してみよう。

コイルに対しては E=−LdI/dt が成り立つ。

しかし、このままでは L を 「 電圧と電流の比 」 で表すことはできない。

いま、I は Isinωt や Icosωt の形で表される。

これは exp(iωt) の実部や虚部を意味する。

そこで、E(t)=Eexp(iωt)、I(t)=Iexp(iωt) と表されると仮定する。

いま、E=−iωLI である。

つまり、iωL=−E/I である。

つまり、iωL は 「 電圧と電流の比 」 で表される。

そこで、iωL を 『 インピーダンス 』 と呼ぶのである。

定義 ( コンデンサのインピーダンス )

C をコンデンサのキャパシタンスとする。

いま、電流 I が、Isinωt や Icosωt の形で表されるとする。

このとき、(iωC)−1 を 『 インピーダンス 』 という。

定義の動機はコイルの場合と同様である。

インピーダンスを用いると、回路の微分方程式の特殊解を簡単に求めることができる。

定義 ( RLC回路のインピーダンス )

RLC回路を考える。

電源電圧は Esinωt や Ecosωt の形で表されるとする。

このとき、Z=R+iωL+(iωC)−1 を 『 インピーダンス 』 という。

P5 ( 共鳴 )

RLC回路のインピーダンスの絶対値が最小値 R となるのは、ω=(LC)−1/2 の場合である。

補足

インピーダンスの絶対値が最小値 R である場合、コイルとコンデンサを無視できる。

つまり、電流の振幅は最大となる。

この現象を 『 共鳴 』 という。

また、ω=(LC)−1/2 を 『 共鳴周波数 』 という。

さらに、R=0 ならばインピーダンスは 0 である。

つまり、これは回路の電気抵抗が 0 であることを意味する。

つまり、原理的には電流は無限大となる。

同様の議論は、バネの強制振動などで知られている。

証明

いま、Z=R+iωL+(iωC)−1=R+i(ωL−(ωC)−1) である。

よって、|Z|≧R である。

よって、ωL−(ωC)−1=0 のときに|Z|は最小となる。

つまり、ω=(LC)−1 である。

P6 ( RL回路の特殊解〜複素法 )

RL回路を考える。

電源電圧は Ecosωt であるとする。

このとき、次の特殊解を得る。

証明 ( 複素法 )

E=Eexp(iωt)とおく。

(t)=Iexp(iωt) とおく。

いま、RI+LI’=Eexp(iωt) である。

よって、(R+iωL)I(t)=Eexp(iωt) である。

よって、



いま、E(t)=Ecosωt=Re(Eexp(iωt)) である。

よって、