ローレンツ力の背景

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要請 ( ローレンツ力 )

電場 E、磁束密度 B において速度 v で運動する荷電粒子を考える。

このとき、荷電粒子には力 F=qE+qv×B がはたらく。

とくに、qv×B を 『 ローレンツ力 』 という。

上記の主張は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、磁石のN極とS極を向かい合わせて平行に置く。

その間には一様な静磁場が生じる。

この静磁場中に針金を通して定常電流を流す。

すると、針金には力がはたらく。

その力の大きさは 「 電流の大きさ 」 と 「 磁場の強さ 」 に比例する。

その力の向きは 「 電流の向き 」 と 「 磁場の向き 」 に垂直である。



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針金と磁場の成す角をθとする。

すると、針金の長さ Δs にはたらく力の大きさは ΔF=IBsinθ・Δs である。

以上のことは実験的に確認できる。

ここで、電流の向きの単位ベクトルを t と表す。

すると、ΔF=I(t×B)Δs である。

一般に、磁場 B と電流の向き t は位置に依存する。

よって、一般には ΔF(r)=I(t(r)×B(r))Δs と表される。

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一般に、針金は太さをもつ。

そこで、針金の断面積を A とし、電流密度を i とする。

すると、ΔF=iA(t×B)Δs である。

よって、電流の単位体積あたりにはたらく力は f=ΔF/AΔs=i×B である。

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ここで、電子の数密度を n とし、電子の平均密度を v とする。

すると、i=n(−e)v である。

よって、f=−nev×B である。

よって、電荷 q をもつ粒子にはたらく力は F=qv×B である。

P* ( 磁場中の荷電粒子 )

一様な磁場において磁場に垂直に運動する荷電粒子を考える。

このような粒子は円運動を行う。

その角速度は ω=qB/m ( m は粒子の質量 ) である。

証明

粒子の速さを v とする。

磁束密度の大きさを B とする。

いま、ローレンツ力は qvB であり、その力の向きは 「 粒子が運動する向き 」 に垂直である。

運動の向きに垂直な力がはたらくとき、粒子は円運動を行う。(※力学)

その遠心力は mv/R ( Rは円運動の半径 ) である。

よって、力の釣り合いにより qvB=mv/R である。

よって、角速度は ω=v/R=qB/m である。