ミンコフスキ時空のローレンツ変換不変性

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定義 ( ミンコフスキ時空〜初等ver )

(ct、x、y、z)を座標とする。

2点(ct、x、y、z)と(ct、x、y、z)の距離 s を次のように定める。

(*) s=−c(t−t+(x−x+(y−y+(z−z

このような距離 s が定められた空間を 『 ミンコフスキ時空 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、通常の空間座標(x、y、z)の原点で光を放射する。

いま、この光が t 秒後に到達する点全体は x+y+z=(ct) で表される。

つまり、−c+x+y+z=0 である。

よって、距離 s がミンコフスキ時空において意味をもつと推測することは自然である。

P1 ( 座標軸の傾斜 )

S と S’を慣性系とする。

S’は S において速度 v で移動するとする。

S を基準にして空間1次元ミンコフスキ空間を考える。

このとき、次が成り立つ。

(1) x’=0 の傾斜は c/v である。

(2) t’=0 の傾斜は v/c である。

証明

既知とする。

P2 ( s の線形変換不変性 )

ds は線形変換に対して不変である。

補足

微小な距離 ds は dx、dy、dz の1次結合で表されると仮定できる。

よって、その場合には今回の定理を適用できる。

微小量の間に等式が成り立てば、その積分として表される有限 Δs に対しても成り立つ。

証明

S と S’を慣性系とする。

S と S’の原点を一致させる。

S’は S の線形変換で表されるとする。

ds=−cdt+dx+dy+dz を S における距離とする。

ds’=−cdt’+dx’+dy’+dz’ を S’ における距離とする。

いま、各 dt’、dx’、dy’、dz’は、dt、dx、dy、dz の1次結合として表せる。

つまり、例えば、dx’=Adt+Bdx+Cdy+Ddz である。

むろん、これは dx’=(∂x’/∂t)dt+(∂x’/∂x)dx+(∂x’/∂y)dy+(∂x’/∂z)dz と表せる。

ここで、x=ct、x=x、x=y、x=z とおく。

いま、



また、



2つの事象が光速度で隔てられているとき、ds=ds’=0 である。(※定義(ミンコフスキ時空)の補足)

つまり、(*1)より、



これを(*2)に代入すると、次のように計算できる。(※Bij=Bjiに注意)



既に確認したように、任意の dx に対して ds’=0 である。

つまり、x を −x に置き換えても ds’=0 である。

よって、(*3)より、B0i=0 ( i=1、2、3 ) である。(★1)

むろん、Bi0=0 ( i=1、2、3 ) である。(★2)

一方、dx=dx=0 に対して ds’=0 である。

よって、B00+B33=0 である。

同様に、B00=−B11=−B22=−B33 である。(★3)

以上により、



つまり、Bij=0 ( i≠j ) である。(★4)

(★1)〜(★4)より、



慣性系を区別するのは慣性系間の相対速度 v のみである。

よって、B00 は v の絶対値の関数である。

S’は S に対して x 方向に速度 v で等速直線運動していると仮定する。

次に、S’に対して x’方向に速度 −v で運動している慣性系 S’’ を考える。

いま、ds’=−B00(v)ds、ds’’=−B00(v)ds’ である。

つまり、ds’’=B00ds である。

一方、明らかに、S’’と S に同一である。

よって、B00=1 である。

また、ds が慣性系によって異なると因果関係が変わってしまう。

よって、(*4)より、B00=−1である。

つまり、ds’=ds である。

定義 ( ローレンツ・ブースト )

次のような変換を考える。



ただし、



このような変換を 『 方向 x への速度 v のローレンツ・ブースト 』 という。

同様に、「 方向 y 」 と 「 方向 z 」 へのローレンツ・ブーストを定義できる。

定義 ( ローレンツ変換 )

各方向へのローレンツ・ブーストと座標回転を合わせたものを 『 ローレンツ変換 』 という。

上記の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

とくに 、方向 x のローレンツ・ブーストを考える。

S と S’を慣性系とする。

S’は S の x 軸方向に速度 v で等速直線運動しているとする。

原点で時刻を合わせる。

いま、S’の ct’軸 ( つまり x’=0 ) と、x’軸 ( つまり t’=0 ) は次のように表される。(※P1)



S’の座標(ct’、x’)を S の座標で表すと、

(*1) ct’=Act+Bx

(*2) x’=Cct+Dx

いま、t’=0 は ct=(v/c)x である。(※P1)(★1)

また、x’=0 は ct=(c/v)x である。(※P1)(★2)

(*1)と(★1)より、B/A=−v/c である。

(*2)と(★2)より、C/D=−v/c である。

よって、

(*3) ct’=A(ct−(v/c)x)

(*4) x’=D(−vt+x)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

S’において時刻 t’=0 に場所 x’=a’から原点へ光を放射する。

S’の原点で光を観測する時刻を t’ とする。

いま、ct’=0、x’=a’、ct’=a’、x’=0 である。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、同じ現象を S で観測して光の放射を(ct、x)とし、光の観測を(ct、x)とする。

いま、この2点を通過する直線の傾斜は −1 である。(※参考:光円錐の傾斜)



つまり、



また、(★3)を(*3)と(*4)に代入すると、

(*5) 0=A(ct−(v/c)x

(*6) a’=D(−vt+x

(*7) a’=A(ct−(v/c)x

(*8) 0=D(−vt+x

よって、(*5)と(*8)より、t=vx/c、t=x/v である。(★4)

よって、(**)より、vx=cx である。(★5)

(★4)、(★5)、(*6)、(*7)より、A=D である。

つまり、

(**1) ct’=A(ct−(v/c)x)

(**2) x’=A(−vt+x)

つまり、微小変化は、

(**3) dt’=A(dt−(v/c)dx)

(**4) dx’=A(−vdt+dx)

よって、−cdt’+dx’=−A(1−(v/c))dt+A(1−(v/c))dx である。(★★1)

ここで、−cdt’+dx’=−cdt+dx を要請する。(★★2)

つまり、線形変換(ct、x)→(ct’、x’)に対して距離 s の不変性を要請する。

すると、(★★1)、(★★2)より、



つまり、



つまり、ローレンツ・ブーストは距離が不変となるように定義された変換である。

補足

上では 「 要請 」 という言葉を用いた。

むろん、これは理論を構成するときの要請とは別物である。

P3 ( ミンコフスキ時空のローレンツ変換不変性 )

ローレンツ変換に対してミンコフスキ時空の距離 s は不変である。

証明

既に示した。(※定義(ローレンツ変換)の補足)