ローレンツ力のローレンツ共変性

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参考 ( 概要 )

よく知られているように、ローレンツ力は F=q(E+v×B)で表される。

ここでは F=qv×B をローレンツ力と呼ぶことにする。

ここで、速度 v で移動する別の慣性系S’を考える。

つまり、S’において電荷 q は静止している。

よって、S’から見ると電荷 q はローレンツ力を受けない。

これは矛盾しているように思える。

この矛盾は4次元のローレンツ力によって解決する。

復習 ( 4元ベクトル )

x’=∧ をローレンツ変換とする。

ある量の、S系(x)における値を h とし、S’系(x’)における値を h’ とする。

h’=∧ が成り立つとする。

このとき、この量を 『 4元ベクトル 』 という。

復習 ( 4元速度、4元加速度、4元運動量 )

次のように定義する。







このとき、u を 『 4元速度 』 といい、a を 『 4元加速度 』 といい、p を 『 4元運動量 』 という。

これらはいずれも4元ベクトルである。

復習 ( 4元力 )

速度 v をもつ粒子に力 f=(f、f、f)が働いているとする。

次のように定義する。



このとき、F を 『 4元力 』 という。

4元力は4元ベクトルである。

定義 ( 4元電流 )

(x、t)=(i、i、i)を電流とする。

これは i=ρ と表せる。

つまり、ρは(電荷が速度vで移動しているように視える慣性系Sにおける)電荷密度である。

ρを、電荷が静止して視える慣性系での電荷密度とする。

いま、



むろん、ρ>ρである。(※γ<1)

つまり、(Sから見て)ローレンツ収縮によって空間が縮むことで電荷密度が大きくなる。

次のように定義する。



このとき、j(x、t)を 『 4元電流 』 という。

明らかに、4元電流は4元ベクトルである。

実際、jは4元速度は u=(γc、γv、γv、γv)の定数倍である。(※4元速度は4元ベクトル)

復習 ( 電磁場テンソル、4元ポテンシャル )

を4元電流とする。

次のように定義する。



これは次のように表せる。



このとき、fij を 『 電磁場テンソル 』 という。

また、A を 『 4元ポテンシャル 』 という。

復習 ( 電場と磁場の変換則 )

S を慣性系とする。

S’を S に対して x 軸方向に速度 V で移動する慣性系とする。

このとき、

定義 ( 4次元のローレンツ力 )

jp を電磁場テンソルとする。

を粒子の4元速度とする。

次のように定義する。



このとき、



ただし、



明らかに、f は4元ベクトルである。(※4元力は4元ベクトル)

この f を 『 4次元のローレンツ力 』 という。

(*)の証明

次のように計算できる。





まとめると、

参考 ( 矛盾の解決 )

参考(概要)に紹介した矛盾について議論する。

S を慣性系とする。

S’を S に対して x 軸方向に速度 V で移動する慣性系とする。

S において z 軸方向に磁場 B=(0、0、B)があるとする。

ただし、Sにおいて電場はないとする。

いま、Sにおいて次の力が働く。



また、Sの電磁場は、



これをローレンツ変換すると、次を得る。(※復習:電場と磁場の変換則)



S’において v’=0 である。

よって、



このように、y軸方向にローレンツ力 −γqVB が働いている。

また、F’=γF である。

これは F を3次元のローレンツ力と見なせば変換則が満たされることを意味する。

つまり、S’系においては磁場が移動することで電場が発生し、それによって力が発生していると見なせる。