自励系、ロトカ-ボルテラ方程式

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定義 ( 自励系 )

X(t) を平面上の点の運動とする。

X’(t)=f(X(t)) を微分方程式とする。

これを 『 自励系 』 という。

ある点 P が存在して、f(P)=0 となるとき、これを 『 平衡点 』 という。

つまり、自励系では、X’が t に依存せず X のみで定まる。

X=(x、y)とおくと、

定義 ( 自励系に伴うベクトル場 )

X’(t)=f(X(t)) を自励系とする。(★)

各点(x、y)にベクトル f(x、y) を対応させたものを 『 (★)に伴うベクトル場 』 という。

いま、近似的に X(t+ε)≒X(t)+εf(X(t)) と表せる。

これにより、(★)の解曲線はベクトル場のベクトルをつなぐことで近似できる。

P1 ( 自励系の解の存在と一意性 )

X’(t)=f(X(t)) を自励系とする。(★)

f=(f、f) とおく。

と f 上のリプシッツ連続関数であるとする。

このとき、(★)の解は、−∞<t<∞ で一意に存在する。

証明

この証明は長くなるので省略する。

ただし、この省略によって以下の理解に被害が出ることはない。

P12

X’(t)=f(X(t)) を自励系とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 解曲線は平衡点以外で枝分かれしない。

(2) 「 平衡点 P に対し、limt→∞X(t)=P または limt→−∞X(t)=P 」 ⇒ x(t)≠P

(3) 「 解曲線が閉曲線であり、平衡点を通らない 」 ⇒ 解は周期的

補足

(2) の 「 X(t)≠P 」 は 「 X(t) が有限時間で P に到達しない 」 を意味する。

(3) の 「 解は周期的 」 は 「 ある T≠0 が存在して、X(t+T)=X(t) となる 」 を意味する

証明

省略する。

ただし、この省略によって以下の理解に被害が出ることはない。

P13 ( 単振動を自励系として理解する )

x’’=−kx ( k>0 ) を1次元の単振動とする。

このとき、解曲線は下図のように表される。

補足

c は任意定数であるから、実際には楕円が無数に並んでいる。

いま、明らかに、各解曲線は互いに交わらない。

つまり、P12(1)が確認できる。

また、明らかに、平衡点は原点のみである。

つまり、P12(3)が確認できる。

証明

y=x’とおく。

いま、y’=−kx である。

つまり、y’(t)=−kx(t) である。

これは自励系である。

いま、kxy’+yy’=kxy−kxy=0 である。

よって、(kx+y)’=0 である。

よって、kx+y=c である。

とくに、y>0 は x’>0 を意味するので、(x(t)、y(t)) は時計回りに動く。

定義 ( 第1積分 )

X’(t)=f(X(t)) を自励系とする。

X(t)=(x(t)、y(t)) とおく。

ある関数 E(x、y) が存在して、次を満たすとする。

(1) E(x、y) は定数ではない。

(2) dE(x(t)、y(t))/dt=Ex’+Ey’=0

このとき、E を 『 第1積分 』 または 『 保存量 』 という。

x’’=−kx を1次元単振動とする。

y=x’とおくと、これは自励系 y’=−kx と見なせる。(★)

いま、E(x、y)=y/2+kx/2 は(★)の第1積分である。

P15 ( λfdx−λfdx=0 が完全形ならば自励系は第1積分をもつ )

X’(t)=f(X(t)) を自励系とする。(★1)

X(t)=(x(t)、y(t)) を(★1)の解とする。

x’(t)≠0 であるとする。

f=(f、f) とおく。

いま、dy/dx=y’/x’=f(x、y)/f(x、y) である。

つまり、fx’−fy’=0 である。(★2)

積分因子λが存在して、λfdx−λfdy=0 が完全形であるとする。

( むろん、λ=1(定数)でもよい )

λf と λf は C 級であるとする。

このとき、次式を(★1)の第1積分として採用できる。

補足

ただし、x と y は任意の始点である。

証明

いま、(λf=−(λf である。(※完全形の同値条件)

よって、定理に書かれている式 E(x、y) は、λfdx−λfdy=0 の解である。

つまり、E(x、y) は(★1)の第1積分である。

参考 ( ロトカ-ボルテラ方程式 )

α、β、γ、δを、正のパラメータとする。

このとき、次の方程式を 『 ロトカ-ボルテラ方程式 』 という。

以下、とくにパラメータがすべて1である場合について考える。

つまり、



この方程式について解曲線を考える。

まず、第1象限(x>0、y>0)において、(*)の第1積分 E を求める。

いま、



よって、



これを積分すると、



これで(*)の第1積分が分かった。

ここで、X=x−logx、Y=y−logy とおく。

x>0 において X のグラフは下図のようになる。( Y のグラフも同様である )



いま、解曲線の条件 E(x、y)=C は、X+Y=C と表せる。

第1象限(x>0、y>0) における平衡点 (x、y)=(1、1) に対し、(X、Y)=(1、1) である。

いま、1≦X<∞、1≦Y<∞ である。

C−1<1 の場合、これを満たす(X、Y)は存在しない。

C−1=1 の場合、(X、Y)=(1、1) のみである。

C−1>1 の場合について考える。

まず、解曲線は平衡点(1、1)を通らなければ、周期的になる。(※P2(3))

一方、(x、X)のグラフに注目する。

いま、ある 0<α<1<β が存在して、C−1=α−logα=β−logβ となる。

よって、X が 1 から C−1 まで動くとき、x は 「 1からαまで 」 と 「 1からβまで 」 を動く。

一方、X が 1 から C−1 まで動くとき、Y は C−1 から 1 まで動く。(※X≧1、Y≧1、X+Y=C)

Y が C−1 から 1 まで動くとき、y は 「 αから1まで 」 と 「 βから1まで 」 を動く。

以上により、

補足

解曲線の向きは、元の微分方程式(*)に注目すれば分かる。