ルジャンドル微分方程式、ルジャンドル多項式

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定義 ( 級数解 )

微分方程式の解で、巾級数で表されるものを 『 級数解 』 という。

定義 ( 正則点 )

y’’(x)+P(x)y’(x)+Q(x)y(x)=0 を微分方程式とする。(★)

P と Q は x=a まわりでテイラー展開可能であるとする。

このとき、a を 『 (★)の正則点 』 という。

とくに、(★)が定数係数ならば、任意の点 x=a は正則点である。

参考 ( 級数解の解空間 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を微分方程式とする。(★)

点 x=a を(★)の正則点とする。

これらは|x−a|<R で収束し、|x−a|≦R で連続であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) x と x を定めると、級数解 y(x)=0≦k≦∞(x−a) が定まる。

(2) (1)の級数解は|x−a|<R で収束する。

ここではこれの証明を省略する。

定義 ( ルジャンドル微分方程式 )

(1−x)y’’−2xy’(x)+α(α+1)y=0 を微分方程式とする。(★)

ただし、αは実定数であるとする。

このとき、(★)を 『 ルジャンドル微分方程式 』 という。

P1

(1−x)y’’−2xy’(x)+n(n+1)y=0 をルジャンドル微分方程式とする。(★)

ただし、n は非負整数であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 基本解として yn、1(x)=0≦k≦∞2k2k、yn、2(x)=0≦k≦∞2k+12k+1 を採用できる。

(2) yn、1(x) と yn、2(x) のうち、いずれか一方だけは多項式である。

補足

ただし、a の意味は証明中で述べる。

補足

(★)の両辺を 1−x で割る。

すると、y’’−2x(1−x−1y’+n(n+1)(1−x−1y=0 である。

よく知られているように、|x|<1 ならば (1−x−10≦k≦∞2k は収束する。

つまり、x=0 は(★)の正則点である。

よって、|x|<1の範囲で級数解を求めることができる。

(1)の証明

y=0≦k≦∞ を ( x=0 まわりの ) 級数解とする。

これを(★)に代入すると、



式変形すると、



よって、



つまり、上式の各係数は 0 である。

よって、



いま、



よって、



同様に、



≠0 と a=0 で定まる級数解 y を yn、1 と表す。

=0 と a≠0 で定まる級数解 y を yn、2 と表す。

いま、yn、1(x)=0≦k≦∞2k2k、yn、2(x)=0≦k≦∞2k+12k+1 である。

明らかに、yn、1 と yn、2 は1次独立であり、(★)の解を生成する。

(2)の証明

n=2m>0 の場合について。

いま、a2m+2=0 である。

よって、a2m+4=0 である。

よって、y2m、1(x)=0≦k≦m2k2k である。(※0≦k≦∞ ではなくて 0≦k≦m となっていることに注意 )

つまり、y2m、1(x)は多項式である。

一方、a2m+1≠0、a2m+3≠0、・・・である。

よって、y2m、2(x)は多項式ではない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n=2m+1 の場合について。

いま、a2m+3=0、a2m+5=0、・・・ である。

よって、y2m+1、20≦k≦m2k+12k+1 である。

つまり、y2m+1、2 は多項式である。

一方、y2m+1、1 は多項式ではない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n=0 の場合について。

いま、a=0、a=0、・・・ である。

よって、y0、1(x)=a である。

一方、y0、2(x)は多項式ではない。

補足

ザックリと言えば、上の証明では次の2通りを議論している。

(*1) y=0≦k≦∞ の k が偶数か奇数か。

(*2) (1−x)y’’−2xy’(x)+n(n+1)y=0 の n が偶数か奇数か。

この2つを混同しないように注意しよう。

定義 ( ルジャンドル多項式 )

P1 の状況を引き継ぐ。

多項式 P(x) を次のように定める。(※P1(3)の証明)





このとき、P(x) を 『 ルジャンドル多項式 』 という。

と a は、任意の n に対して P(1)=1 が成り立つように定められている。

P2 ( ロドリグの公式〜ルジャンドル多項式ver )

ルジャンドル多項式 P(x) は次のように表せる。



補足

[n/2] は、n が偶数の場合に n/2 を意味し、n が奇数の場合に (n−1)/2 を意味する。

補足

とくに、(1) を 『 ロドリグの公式 』 という。

(1)の証明

P1の証明で示した式を改めて書いておく。



D=d/dx とおく。

いま、



ここで、



つまり、D(x−1)0≦k≦nn−2kn−2k である。

いま、



m=n−2k とおくと、



いま、(*1)と(*2)は同じ式である。

よって、D(x−1) はルジャンドル多項式の定数倍である。

そこで、D(x−1)=CP(x) とおく。(★)

(★)の左辺は、



よって、(★)の左辺は x=1 を代入すると、n!2 となる。

一方、(★)の右辺に x=1 を代入すると、C となる。

よって、C=n!2 である。

(2)の証明

(1)より、

P3 ( ルジャンドル多項式の直交関係〜その1 )

ルジャンドル多項式 P(x) に対して次が成り立つ。

証明

f(x)=(x−1) とおく。

いま、f(±1)=f’(±1)=・・・=f(n−1)(±1)=0 である。

よって、k≦n に対して次のように計算できる。(※P2)



よって、





−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

m≠n の場合について考える。

m<n の場合、P(x) の次数はn−1以下である。

よって、上の結果より、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

m=n の場合について考える。

いま、D((x−1))=((2n)!/n!)x+・・・ である。

よって、P(x)=P(x)=((2n)!/2n!n!)x+(n−1)次以下の項である。

よって、

P3 ( ルジャンドル多項式の直交関係〜その2 )

f(x) を n−1 次以下の多項式とする。

(x) をルジャンドル多項式とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

既に P2 の証明で示した。

P3 ( ルジャンドル多項式の直交関係〜その3 )

(x) を n 次多項式とする。

任意の(n−1)次以下の多項式 f(x) に対して次が成り立つとする。



このとき、P(x)は、ルジャンドル多項式 P(x) の定数倍である。

証明

いま、P(x)を定数 c 倍して、P(x)−cP(x) が n−1 次以下となるようにできる。

ここで、f(x)=P(x)−cP(x) とおく。

いま、次が成り立つ。(※P3)



よって、f(x)=0 である。

つまり、P(x)=cP(x) である。