量子力学のための線形代数、エルミート変換、ユニタリ変換、スペクトル分解

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注意

線形変換、線形作用素、線形オペレータは基本的に同じ意味で用いられる。

定義 ( 複素ベクトル空間 )

係数体として複素数体 をもつベクトル空間を 『 複素ベクトル空間 』 という。

例えば、 は複素ベクトル空間として見なせる。

の基底として次を採用できる。



とくに、このような基底を 『 自然基底 』 という。

これは実ベクトル空間と同様である。

定義 ( エルミート共役 )

L=(Lij) を行列とする。

=(Lji) と定義する。

このとき、L を 『 Lのエルミート共役 』 という。

記号 † は 「 ダガー 」 と読まれる。

*は複素共役を意味する。

つまり、L は L=(Lij) の転置行列の複素共役である。

注意

明らかに、〈e|L∧†|e〉=〈e|L|e である。

定義 ( ケットベクトル )

以下の議論では縦ベクトルを|a〉 と表す。

つまり、



このとき、|a〉 を 『 ケットベクトル 』 という。

上式では等号を用いず、矢印を用いた。

なぜなら、左辺の |a〉 は座標に依存しないが、右辺は座標に依存するからである。

ただし、これを等号で結ぶ本もある。

その場合、座標が1つ定まっていると認識し、留意する必要がある。

定義 ( ブラベクトル )

記号 〈a| を次のように定義する。



このとき、〈a|を 『 ブラベクトル 』 という。

つまり、〈a|=|a〉 である。

注意 ( 内積の座標変換不変性 )

|u〉 を完全正規直交系とする。

|a〉=a|u〉+・・・+a|u〉、|b〉=b|u〉+・・・+b|u〉 をケットとする。

このとき、a+・・・+a は座標変換に対して不変である。

補足

|u’〉 を別の完全正規直交系とする。

いま、|a〉=a’|u’〉+・・・+a’|u’〉、|b〉=b’|u’〉+・・・+b’|u’〉 と表される。

このとき、a+・・・+a=(a’)b’+・・・+(a’)b’ が成り立つ。

これが今回の定理の主張である。

証明

既知とする。

定義 ( ブラケット )

|a〉=a|u〉+・・・+a|u〉、|b〉=b|u〉+・・・+b|u〉 をケットとする。

次のように定義する。(※注意:内積の座標変換不変性)



このとき、〈a|b〉 を 『 ブラケット 』 という。

とくに、〈a|b〉=0 となるとき、「 |a〉 と |b〉 は直交する 」 という。

明らかに、次の等式が成り立つ。

明らかに、〈a|b〉=〈b|a〉 である。

明らかに、〈e|a〉=〈e|e〉=〈e|e〉=δij=a である。

注意 ( 線形変換は基底に対する値のみで定まる )

を線形変換とする。

の値は基底 |u〉 に対する L|u〉 のみで決定される。

つまり、N個の値 L|u〉、・・・、L|u〉 のみで L は定まる。

証明

任意の |a〉 は |a〉=a|u〉+・・・+a|u〉 の形で表される。

よって、L|a〉=a|u〉+・・・+a|u〉 である。

この L|a〉 は、L|u〉、・・・、L|u〉 によって計算できる。

定義 ( 線形変換の表現行列 )

を線形変換とする。

|u〉 を基底とする。

ij=〈u|L|u〉 とおく。

このとき、行列 L=(Lij) を 『 |u〉 に伴う L の表現行列 』 という。

とくに、自然基底に対して Lij=〈e|L|e〉 は、ベクトル L の i 番目の成分である。

むろん、L は座標(基底の取り方)に依存しない。

一方、その表現行列は座標に依存する。

定義 ( 1

恒等変換を 1 で表す。

つまり、任意の |a〉 に対して 1|a〉=|a〉 である。

定義 ( 完全性 )

|u〉 をベクトルの集合とする。

任意のベクトルは、|u〉 の1次結合で表されるとする。

このとき、「|u〉 は完全である 」 という。

むろん、基底ベクトルは完全である。

注意 ( 完全性による表示〜その1 )

|u〉 が完全であることを 11≦i≦N|u〉〈u| と表す。

この表記は自然に完全性を意味する。

証明

実際、



とくに、座標系を1つ固定して、自然基底を採用すると、上式は次を意味する。



むろん、(*1)と(*2)を等号で結ぶことはできない。

注意 ( 完全性による表示〜その2 )

を線形変換とする。

|u〉 を完全正規直交系とする。

L=(Lij) を、|u〉 に伴う L の表現行列とする。

このとき、次のように表せる。

証明

次のように計算できる。

注意 ( 完全性による表示〜その3 )

自然基底 |e〉 に対して次が成り立つ。

(1)の等式は、一般の完全正規直交系に対しても成り立つ。

(2)や(3)の対応は、一般の完全正規直交系に対しては成り立たない。

参考 ( 射影変換 )

|u〉 を完全正規直交系とする。

このとき、Pα=|uα〉〈uα|を 『 射影変換 』 という。

定義 ( 自己共役 )

=L ( L∧†=L ) であるとする。

このとき、「 L は自己共役である 」 という。

また、L を 『 エルミート行列 』 という。

また、L を 『 エルミート変換 』 という。

量子力学では測定値が実数になる物質量はエルミート変換で表される。

例えば、位置 x、運動量 p、エネルギー H である。

とくに、H は 『 ハミルトニアン 』 と呼ばれる。

つまり、H∧†=H である。

ここで、

「 物質量がエルミート変換で表されるとはどういうことだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

簡単に言うと、エルミート変換を波動関数ψに作用させると、物理量が出るということである。

例えば、波動関数 ψ に H を作用させると、Hψ=Eψ となり、エネルギー E が分かる。

この式は 『 シュレディンガー方程式 』 と呼ばれる。

P1 ( 基本計算 )

次が成り立つ。

補足

(2)より、L|a〉=〈a|L∧† である。

補足

既に確認したように、〈e|L∧†|e〉=〈e|L|e である。

(3)は、これの一般化である。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

次のように計算できる。

(3)の証明

(2)より、次のように計算できる。

注意 ( 固有値問題 )

を線形変換とする。

あるケット |u〉 に対して L|u〉=λ|u〉 となるとする。

このとき、|u〉 を 『 固有ベクトル 』 という。

また、スカラーλを 『 固有値 』 という。

ただし、u は零ベクトルではないとする。

よく知られているように、固有値λは固有方程式 det(L−λI)=0 の解である。(※線形代数)

L が N×N 行列であるとすると、det(L−λI)=0 は N 次方程式である。

よって、重複を許すと、det(L−λI)=0 は N 個の解をもつ。

つまり、重複を許すと、LΛは N 個の固有値をもつ。

通常、ベクトルに L を作用させると、ベクトルの向きは変化する。

しかし、固有ベクトルは向きが変化せず、ベクトルが定数倍になる。

P2 ( エルミート変換の固有値は実数であり、固有ベクトルは直交する )

をエルミート変換とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) L の固有値λは実数である。

(2) 異なる固有値 λα と λβ に伴う固有ベクトル uα と uβ は直交する。

補足

既に確認したように、量子力学では測定値が実数になる物理量はエルミート変換で表される。

また、(2)は物理量が互いに独立していることを意味する。

(1)の証明

いま、L=L∧† である。(★1)

また、L|uα〉=λα|uα〉 である。(★2)

よって、(★2)より、〈uα|L∧†=λα〈uα| である。(※P1)

よって、(★1)より、〈uα|L=λα〈uα| である。

よって、〈uα|L|uβ〉=λα〈uα|uβ〉 である。

一方、(★2)より、〈uα|L|uβ〉=λβ〈uα|uβ〉 である。

よって、λα〈uα|uβ〉=λβ〈uα|uβ〉 である。

よって、(λβ−λα)〈uα|uβ〉=0 である。

とくに、α=βとすると、(λα−λα)〈uα|uβ〉=0 である。

いま、uα|uα〉≠0 である。(※定義:固有値問題)

よって、λα−λα=0 である。

つまり、λα は実数である。

(2)の証明

既に(1)の証明中で示したように、(λβ−λα)〈uα|uβ〉=0、λα=λα である。

つまり、(λβ−λα)〈uα|uβ〉=0 である。

いま、λα≠λβ である。

よって、〈uα|uβ〉=0 である。

P3 ( エルミート変換はスペクトル分解できる )

をエルミート変換とする。

このとき、

(1) 完全正規直交系 |uα〉 が存在する。

(2) Lαλα|uα〉〈uα| ( ただし、λα は uα の固有値 )

補足

(2)の式を 『 スペクトル分解 』 という。

一方、既に確認したように、Lij|e〉〈e|である。

この式は2重和だが、スペクトル分解は一重和である。

この意味で、スペクトル分解は有用である。

補足

α=|uα〉〈uα|を射影変換という。

すると、スペクトル分解は、Lαλαα と表せる。

補足

をオブザーバブル O に伴うエルミートオペレータとする。

すると、O に対して完全正規直交系 |uα〉 を選ぶことができる。

量子力学の世界で、uα は固有状態と呼ばれ、αは量子数と呼ばれる。

(1)の証明

固有方程式が d 重根をもつとする。

つまり、d個の異なるベクトルが同じ固有値をもつ。

このとき、「 これらの固有ベクトルはd重に縮退している 」 という。

明らかに、これらのベクトルは互いに直交しない。

実際、P2の証明で λα≠λβ を用いることができない。

ただし、これら d 個の固有ベクトルは1次独立であることが知られている。(※線形代数)

よって、d個の元から成る正規直交系を作れる。(※シュミット直交化)

つまり、縮重度 d の固有値 λα に対し、正規直交系として固有状態|uα〉 を作れる。(★1)

むろん、|uα〉 は、この固有空間に対して完全正規直交系である。

一方、むろん、縮退がない場合は N 個の異なる固有値があって、各固有ベクトルは直交している。

各ベクトルを規格化すれば、完全正規直交系を得る。

(★1)、(★2)より、縮退の有無に関わらず、完全正規直交系を得る。

(2)の証明

次のように計算できる。

(*) L=L=Lα|uα〉〈uα|=αλα|uα〉〈uα

定義 ( ユニタリ変換 )

を線形変換とする。

∧†=U∧†=1 であるとする。

このとき、U を 『 ユニタリ変換 』 という。

ユニタリ変換は、ユークリッド空間での回転を複素ベクトル空間に一般化したものである。

P4

をユニタリ変換とする。

をエルミート変換とする。

いま、完全正規直交系 |uα〉 が存在する。(※P3)

U を、|uα〉 に伴う U の表現行列とする。

このとき、UU=UU=I である。

証明

U=(Uαβ) とおく。

いま、Uαβ=〈uα|U|uβ〉 である。

よって、明らかである。(※定義:ユニタリ行列)

P5 ( 2つの完全正規直交系はユニタリ変換によって移り合う )

|uα〉、|u’α〉 を2つの完全正規直交系とする。

このとき、あるユニタリ変換 U が存在して、次を満たす。

(1) |u’α〉=U∧†|uα

(2) |uα〉=U|u’α

補足

つまり、U の逆変換は U∧† で与えられる。

(1)の証明

いま、ある行列 U が存在して、|u’α〉=U∧†|uα〉 と表せる。

また、次のように計算できる。



つまり、U はユニタリ変換である。

(2)の証明

いま、|u’α〉=U∧†|uα〉 である。

よって、U|u’α〉=U∧†|uα〉=|uα〉 である。

P6

ブラケット(スカラー積)は座標系(完全正規直交系)に依存しない。

補足

このページでは基底ベクトルを |u’α〉=U∧†|uα〉 で変換した。

これを 『 受動的変換 』 という。

一方、すべてのケットを |a’〉=U|a〉 で変換する方法もある。

これを 『 能動的変換 』 という。

ただし、いずれにしても意味は同じである。

実際、次が成り立つ。

(*) 受動的変換の座標=〈u’α|a〉=〈uα|U|a〉=〈uα|a’〉=能動的変換の座標

また、能動的変換の場合、今回の定理は直接的に示せる。

実際、〈a’|b’〉=〈aU|b〉=〈a|1|b〉=〈a|b〉 である。

証明

|a〉、|b〉 をベクトルとする。

|uα〉、|u’α〉 を2つの完全正規直交系とする。

α を、座標|uα〉 に対する |a〉 の成分とする。

C’α を、座標|u’α〉 に対する |a〉 の成分とする。

α を、座標|uα〉 に対する |b〉 の成分とする。

D’α を、座標|u’α〉 に対する |b〉 の成分とする。

つまり、Cα=〈uα|a〉、C’α=〈u’α|a〉、Dα=〈uα|b〉、D’α=〈u’α|b〉 である。

いま、|a〉=αα|uα〉、|a〉=αC’α|u’α〉 である。

また、|b〉=αα|uα〉、|b〉=αD’α|u’α〉 である。

よって、次が成り立つ。

(*1) 〈a|b〉=〈a|1|b〉=α〈a|uα〉〈uα|b〉=ααα

(*2) 〈a|b〉=〈a|1|b〉=α〈a|u’α〉〈u’α|b〉=α(C’)αD’α

よって、αααα(C’)αD’α である。

上式左辺は |uα〉 に基づくスカラー積である。

上式右辺は |u’α〉 に基づくスカラー積である。

つまり、スカラー積が座標系に依存しないことが示された。

P7 ( ユニタリ変換と座標の関係 )

|uα〉、|u’α〉 を2つの完全正規直交系とする。

|a〉 をベクトルとする。

いま、|a〉=αα|uα〉、|a〉=βC’β|u’β〉 と表せる。

また、あるユニタリ変換 U が存在して、|u’α〉=U∧†|uα〉 となる。(※P6)

このとき、C=UC’ である。

証明

いま、C’α=〈u’α|a〉=〈uα|U|a〉=β〈uα|U|uβ〉〈uβ|a〉=βαββ である。

つまり、C’=UC である。

よって、C=UC’ である。

P8 ( エルミート変換の対角化 )

をエルミート変換とする。

|uα〉 を完全正規直交系とする。(※P3)

このとき、

補足

(1)は次を意味する。

補足

(2)は、〈uα|と|uβ〉 によって L を対角化できることを意味する。

また、その対角成分は固有値である。

(1)の証明

いま、



一方、



(*1)、(*2)より、

(2)の証明

計算すると、

P9 ( エルミート変換はユニタリ変換によって対角化可能である )

を線形変換とする。

|uα〉、|u’α〉 を完全正規直交系とする。

A を|uα〉 に伴う A の表現行列とする。( つまり、Aαβ=〈uα|A|uβ〉 である )

A’ を|u’α〉 に伴う A の表現行列とする。( つまり、Aαβ=〈u’α|A|u’β〉 である )

このとき、次が成り立つ。

(1) あるユニタリ行列が存在して、A’=UAU となる。

(2) A がエルミート変換ならば、A’ が対角行列となるように U を選べる。

(1)の証明

いま、あるユニタリ行列 U が存在して、|u’α〉=U∧†|uα〉 となる。(※P6)

よって、A’αβ=〈u’α|A|u’β〉=〈uα|U∧†|uβ〉=(UAUαβ である。(※P1)

つまり、A’=UAU である。

(2)の証明

明らかである。(※P8)

P10 ( エルミート性とユニタリ性の座標変換不変性 )

を線形変換とする。

|uα〉、|u’α〉 を完全正規直交系とする。

A を、|uα〉 に伴う A の表現行列とする。

A’ を、|u’α〉 に伴う A の表現行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A がエルミート行列ならば、A’もエルミート行列である。

(2) A がユニタリ行列ならば、A’ もユニタリ行列である。

(1)と(2)の証明

いま、あるユニタリ行列 U が存在して、A’=UAU となる。(※P9)

よって、A がエルミート行列ならば、次のように計算できる。

(*1) (A’)=(ULU=UL=ULU=L’

また、A がユニタリ行列ならば、次のように計算できる。

(*2) A’(A’)=UAU・UA=UAA=UU=I