シュレディンガー方程式はエネルギー保存の式を含む

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参考 ( 正準交換関係とシュレディンガー方程式からエネルギー保存の式が出る )

量子力学の世界では運動量 p=(p、p、p) と位置 r=(x、y、z) に対して次が成り立つ。



これを 『 正準交換関係 』 という。

ただし、記号 [・] は 『 交換関係 』 と呼ばれ、次のように定義される。



[A、B]=0 となる場合、物理量 A と B は同時に観測可能である。

[A、B]≠0 となる場合、物理量 A と B は同時に観測できない。

つまり、量子力学の世界では運動量と位置を同時に正確に観測できない。

これは 『 不確定性関係 』 の1つの表現である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここで、正準交換関係が成り立つようにするためにはどうすればよいかを考える。

明らかに、正準交換関係は、p が通常の数である場合には成り立たない。

そこで、次のように定義する。



この p を 『 運動量オペレータ 』 あるいは 『 運動量演算子 』という。

明らかに、p は正準交換関係を満たす。

つまり、量子力学において p は古典力学の運動量に相当する。

つまり、古典力学の運動量は、量子力学の世界で p に置き換えられる。

これを 『 シュレディンガーの置き換え 』 という。( 古典力学はニュートン力学であると思ってよい )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここで、次の式を考える。



これを 『 シュレディンガー方程式 』 という。

ただし、演算子 ∇ は次のように定義される。



また、∇ は形式的な内積 ∇・∇ を意味する。

つまり、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ψ(t、r)=g(t)ψ(r)とおく。

すると、



上式左辺は t のみに依存する。

上式右辺は r のみに依存する。

それにも関わらず、上式の等号は恒等的に成り立つ。

これは上式が変数に依存しない定数であることを意味する。

そこで、その定数を E と表す。

つまり、



つまり、



よって、



これは古典力学のエネルギー保存の式に相当する。

古典力学において運動エネルギーは p/2m と表されることに注意しよう。