黒体放射、波動性、粒子性、ボーアの原子モデル

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参考 ( 黒体 )

あらゆる波長の電磁波を吸収する理想的な物体を 『 黒体 』 という。

鉄は高温になると赤く発光し、さらに高温では白く発光する。

しかし、鉄という特定の物質に注目するだけでは理想的な熱放射は行われない。

理想的な熱放射を行う物体は全ての波長の電磁波を吸収する物体でなければならない。

そうでなければ、純粋に自らの温度に応じて発色することができないからだ。

理想的な発色を行う物質を 『 黒体 』 という。

ところが、地球上に黒体はなかなか見つからない。

例えば、炭のように黒色の物体でも黒体の定義には当てはまらない。

確かに可視光を吸収しているので黒く見える。

しかし、X 線などの電磁波を吸収しているわけではない。

そこで、キルヒホフは黒体として単なる 穴 を利用することにした。

箱の中に空洞を作り、小さな穴を空ける。

この 穴 に入った光は中で反射を繰り返して外に抜け出すことができない。

キルヒホフはこれを近似的に黒体と見なしたのである。



この箱の内部を加熱すると空洞内部で光が発生する。

箱内部では、壁面から放出される電磁波と吸収される電磁波が等しくなるので熱平衡の状態に到達する。

この光の振動数を測定することで、黒体放射(空洞放射)のスペクトル分布を作ることができる。



めでたく黒体放射(空洞放射)のスペクトル分布が作られたが、なかなか原理は解明されなかった。

これが長らく物理学者たちを悩ませた 『 黒体放射の問題 』 である。

参考

黒体放射の問題は、古典物理学の限界を示していた。

ドイツのウィーンは 『 ウィーンの式 』 を導いた。



ウィーンの式は、高動数の領域において実際のスペクトルと良い近似を示す。

ところが、低振動数の領域では大きな誤差が生じてしまった。

一方、イギリスのレイリーとジーンズは 『 レイリー・ジーンズの式 』 を導いた。



レイリー・ジーンズの式は、低振動数の領域において実際のスペクトルと良い近似を示す。

ところが、高振動数の領域では発散してしまう。



これは、当時の物理学者にとって非常に興味深い問題であった。

レイリー・ジーンズの式は、統計物理学から正しくに導かれた式である。

レイリーとジーンズが何かを間違えたわけではない。

それにも関わらず、理論値と実験値が一致しなかった。

すなわち、黒体放射の問題は、当時信じられていた物理学の限界を意味していたのである。

参考

ウィーンの式とレイリー・ジーンズの式を組み合わせて、プランクの放射法則が得られた。

プランクの放射法則の中にプランク定数 h が見出される。

プランクは研究の中で 『 ウィーンの式 』 と 『 レイリー・ジーンズの式 』 を合わせた式を考案した。



この式はウィーンの式の分母に 「−1」 を加えただけにすぎない。

ところが、見事に黒体放射のスペクトルと一致したのである。

さらに、プランクはボルツマン定数 k とパラメータβをまとめて、h という記号に置き換えた。





この h を 『 プランク定数 』 という。

補足

急にウィーンの式などという複雑な式が登場したので驚く人がいるかもしれない。

しかし、これらの式を理解する必要はない。

これらはあくまで紹介という形で提示しているだけである。

ここではプランク定数の由来を把握してもらえれば十分である。

参考

電磁波のエネルギーは、次のように表される。



すなわち、電磁波のエネルギーは離散的な値しかとれない。

これを 『 エネルギーの量子化 』 という。

プランクは見事に黒体放射の式を発見してみせたが、原理を解明したわけではない。

彼はさらに踏み込んで 「 なぜ自分の導いた式が正しい結果をもたらすのか 」 を考えることにした。

結果、プランクは電磁波のエネルギーが次のように表されることに気付いた。



すなわち、電磁波のエネルギーは離散的な値しかとることができない。

これは 『 プランクの量子仮説 』 と呼ばれている。

量子仮説は当時の物理学者にとって衝撃的な考えであった。

当時の古典的な物理学では、エネルギーは連続的な値をとると考えられていたからである。

プランクの量子仮説が登場したのは1900年である。

これが量子論の始まりである。

1900年〜1925年の量子論は 『 前期量子論 ( 古典量子論 ) 』 と呼ばれる。

本格的な量子力学は1925年に誕生する。

正確には、プランクは電磁波はあくまで連続的なエネルギーをもっていると考えていたらしい。

ただ、系におけるエネルギーの交換が hνという単位で行われていると考えていたようである。

しかし、1905年にアインシュタインが光量子仮説を提唱した。

これにより、光(電磁波)のエネルギーがhνを単位としていると考えられるようになった。

参考

黒体スペクトルが最大となる波長をλmax とすると、次式が成り立つ。



これを 『 ウィーンの変位則 』 という。

例えば、ある星から放出される光を測定してみよう。

このとき、λmax を代入することで星の表面温度を計算することができるというわけである。

ちなみに、太陽光のスペクトルを測定すると、黒体と同じようなスペクトルが得られる。

太陽の温度を6000Kと仮定すると、太陽光の強度分布をほぼ完全に説明することができる。

しかし、太陽光から得られるスペクトルは部分的に凹んでいる。

これは、太陽の光が地上に届くまでの間に、大気層で特定の光が反射・吸収されてしまうからである。

P1

光は波動性をもつ。

導出

これは実験的に確認された事実として認めることにする。

導出は行わない。

その実験の内容を紹介しよう。

光の波動性を示す実験として有名なのは 『 ヤングの干渉実験 』 である。

ヤングの干渉実験について説明する。

下図のようにスリットを用意し、光を通す。



この実験装置を上から見下ろすと、



ここで、スリット b を塞いで、スリット a のみを通す。

すると、検出面には1つの輝点が現れる。(※下の概略図を参照)



一方、スリット a を塞いで、スリット b のみを通す。

すると、検出面には1つの輝点が現れる。(※下の概略図を参照)



では、a と b を両方とも開いた状態で光を通すとどうなるだろうか?

常識的に考えると、2つの輝点のみが観測されると予想される。(※下の概略図を参照)



ところが、実際には、複数の輝点が形成される。(※下の概略図を参照)



これは 『 ヤングの干渉実験 』 として知られている。

この実験結果は、光の波動性によって起こるものと考えられる。

すなわち、光と光が互いに強めったり弱め合ったりすることで干渉縞が形成されたと説明される。

参考

「 水面の波 」 や 「 音 」 には物質としての媒質が存在する。

しかし、光は(少なくとも物質としての)媒質を必要としない。

例えば、『 水面の波 』 や 『 音 』 は波である。

水面の波は、水を媒質として伝搬する波である。

音は空気を媒質として伝搬する波である。

つまり、波は媒質を振動させることによって伝わる。

媒質がなければ、そもそも波は生まれない。

では、光にも媒質が存在するのだろうか。光の媒質は何だろうか?

昔の人々も同じ疑問を抱いた。

そこで、彼らは 『 エーテル 』 という媒質の存在を仮定した。

しかし、現在では(物質という意味での)エーテルの存在は否定されている。

P2

光は粒子性をもつ。

導出

これは実験的に確認された事実として認めることにする。

導出は行わない。

その実験の内容を紹介しよう。

光の粒子性を示す実験として有名なのは 『 光電効果 』 である。

光電効果とは、金属板に光を照射すると金属板の表面から電子が弾き出される現象のことである。

例えば、下図のような装置を組んで金属板と電極の間に電圧をかけてみよう。



このとき、小さい振動数の光をどんなに長時間、強く照射しても、電子は飛び出してこない。

ところが、振動数の大きい光を当てると、時間・光の強度に関わらず電子が飛び出してくる。

( ここでいう光の強度とは、光のエネルギーのことではなく、光量のことである )

これは当時に知られていた電磁気学の理論(マクスウェルの理論)では説明が困難であった。

マクスウェルの理論では電磁波を電場と磁場の 『 波動 』 として説明していた。

しかし、物理学者によれば、電磁波を波として説明すると、光電効果を説明できないのである。

ここで、アインシュタインは次のように仮定した。

「 振動数νの光線のエネルギーは、hνを単位として存在する 」

これを 『 光量子仮説 』 という。

すなわち、アインシュタインは光は粒子性をもっていると仮定したのである。

しかも、この仮説に基づいて理論を構築すると、光電効果が説明されることが分かった。

つまり、光電効果は光の粒子性を示す1つの実験的証拠となった。

補足

いま上でも述べたが、光の粒子性とは、光が粒子のような形(丸い形)をしているという意味ではない。

光のエネルギーが離散的に hν、2hν、3hν、・・・として表されることを光の粒子性と呼ぶのである。

補足

光電効果が起こるために必要な最低限のエネルギーを 『 仕事関数 』 という。

仕事関数は金属の種類によって異なる。

いくつかの金属の仕事関数を以下に示すと、

セシウム : 1.95eV
ナトリウム : 2,36eV
アルミニウム : 4.28eV
鉄 : 4.5eV

セシウム Cs は単体の金属として最も仕事関数が小さい。

仕事関数は金属や半導体の接合を考えるときに重要である。

定義 ( 光子 )

粒子として仮定された光のことを 『 光子 』 という。

P3

光は 「 波動性 」 と 「 粒子性 」 の両方の性質をもつ。

これを 『 光の2重性 』 という。

導出

これは P1、P2 の内容を合わせただけである。

補足

ここで紹介した実験的な証拠だけでは、光の2重性を認めるには不十分である。

しかし、他にも様々な実験によって光の波動性・粒子性が確認されている。

ここでは光の粒子性・波動性を認めることにしよう。

ここで、「 波動性と粒子性を同時にもつとはどういうことなのか?」 という疑問をもつ人が多くいると思う。

これについては後でもう少し詳しく説明する。

P4 ( コンプトン効果 )

金属板にX線を照射すると電子が弾き出され、X線が散乱する。

これを 『 コンプトン効果 』 という。



金属板通過前のX線の波長をλ、通過後のX線の波長をλ とする。

さらに、X線(光子)の運動量を p=hν/c として計算すると、次が成り立つ。

導出

弾き出された電子の質量を m とし、速度を v とする。

衝突前の衝突後のX線について、次の(1)〜(3)を考える。

(1) 水平方向の運動量保存則

(2) 垂直方向の運動量保存則

(3) エネルギー保存則

それぞれについて式を立てると、



電子を弾き出すエネルギーは非常に小さいもので十分である。

よって、衝突前後で X線の波長はほとんど変化しない。

よって、次の近似式が成り立つ。



この近似式と上の3式を用いれば、コンプトン効果の関係式を得ることができる。

計算過程はかなり面倒であるが、地道に計算すれば結果を得ることができる。

P5 ( ド・ブロイ波 )

コンプトン効果の説明では X線(光子)の運動量を p=hν/c として計算した。

この式から次式が得られる。



これを 『 ド・ブロイ波の式 』 という。

とくに、左辺のλを 『 ド・ブロイ波長 』 という。

導出

コンプトン効果の計算では p=hν/c として計算した。

一方、高校物理などでもよく知られているように、光について c=λνという式が成り立つ。

よって、λ=c/ν=h/p である。

補足

コンプトン効果の説明では X線(光子)の運動量を p=hν/c として計算を行った。

ただし、これはあくまで類推でしかないことに注意されたい。

実際、そもそも光の運動量とは何であろうか?

理論的な背景がどれだけあるかということは脇に置いておく。

ただ、少なくとも、ここまでに議論した範囲内では意味が分からないし、

何か理由があって p=hν/c とおいたわけではない。

それよりは、とにかく p=hν/c とおいて計算してみたらうまくいった、という話である。

そもそも光に運動量という概念があるのかどうかすらよく分からない。

λ=h/p という式も奇妙である。

左辺のλは波長を表す記号である。

右辺の分母 p は粒子に対して用いられるはずの運動量を表す記号である。

コンプトン効果は波長(振動数)から p=hν/c と計算して光の運動量(?)を算出していた。

では、ド・ブロイの式を光以外に当てはめるとどうなるのだろう?

例えば、電子は粒子として知られている。

電子に運動量 p を与えたとしたら、そこから計算されるド・ブロイ波λは何を意味するのか?

まさか、電子も波動性をもつのだろうか・・・?

実際、物理学者ド・ブロイはそのように考えたのである。

ド・ブロイの立場に立つと、P5 の式λ=h/p のλは物質の波長(?)を表すことになる。

この波を 『 ド・ブロイ波(物質波)』 という。

これについては以下で調べていくことにしよう。

P6

電子は粒子性をもつ。

補足

前に、光の粒子性と波動性について考えたが、今回は電子について論じていることに注意。

導出

これは実験的に確認された事実として認めることにする。

導出は行わない。

その実験の内容を紹介しよう。

1897年、トムソンは下図のような装置を用いて電子を発見した。



ガラス管の内部はほとんど真空に保たれている。

また、蛍光面に電子が衝突すると、輝点として検出されるようになっている。

トムソンの実験によれば、電子は電磁場の影響を受けて曲線運動を行う。

これは電子は質量と電荷をもち、ニュートンの運動方程式にしたがって運動することを示している。

こうして、電子は粒子であると考えられるようになった。

P7

電子は波動性をもつ。

導出

これは実験的に確認された事実として認めることにする。

導出は行わない。

その実験の内容を紹介しよう。

2つのスリットと検出面を考える。



装置を上から見下ろすと、



この実験装置を用いて、電子を1つ1つ打ち出して電子を検出していく。

最初、検出面にはポツポツと電子が検出されるだけである。( 下の概略図を参照 )



一見、ランダムな位置に電子が検出されているように見える。

しかし、実験を続けていくと、縞模様が形成される。( 下の概略図を参照 )



複数の電子を一斉に照射してこのような結果が得られたのではない。

電子を1つ1つ打ち出した結果として縞模様が形成されたのである。

これは非常に不思議な現象である。

電子を1つ1つ打ち出したのだから、電子が他の電子から干渉を受けることはない。

にも関わらず、電子は波動性の性質を示している。

つまり、『 1個 』 の電子が2つのスリット a、b を同時に通り抜けて自分自身と干渉したことになる。

これは 『 1つの電子 』 が波動性をもつことを示している。

P8

電子は粒子性と波動性の両方の性質をもつ。

導出

これは P6、P7 の内容を合わせただけである。

補足

電子が波としてスリットを通り抜け、検出面では粒子として検出されることが上で示されている。

このとき、

「 電子が波として存在している間、電子はどうなっているのか?溶けているのか?分裂しているのか?」

・・・という疑問に思う人がいるかもしれない。

ところが、電子は溶けているわけでもないし、分裂しているわけでもない。

しかも、粒子が波として存在している間、電子の存在位置は確率的にしか表現できない。

「 では、波としての電子を観測することはできるのか?」 と考える人もいるかもしれない。

観測するということが 「 見る 」 ということなら、これはできない。

人間が観測するためには対象物に光を当てなければならない。

ところが、波として存在している電子に光を当ててしまうと、

電子は光と相互作用を及ぼして粒子に収縮してしまう。

だから、電子を観測するときには、それはいつでも 『 1つの粒子 』 として検出されてしまう。

どうやら、量子論的なミクロの世界では巨視的なスケールでは見られない特異な現象が現れるようだ。

P9

電子の波長はド・ブロイ波の式から計算できる。

導出

これは実験的に確認された事実として認めることにする。

導出は行わない。

その実験の内容を紹介しよう。

アルミニウム箔に X線(つまり電磁波)を照射すると、X線が回折して特徴的な回折パターンが得られる。

これは、結晶中におけるアルミニウム原子間の距離がX線の波長と同程度であるために起こる現象である。



同じように、しかるべき速度に加速させた電子を照射すると、似たような回折パターンが得られる。

これは、加速された電子が X 線に近いド・ブロイ波をもつからであると考えられる。

電子の質量を m とし、速度を v とすると、電子の波長はλ=h/(mv)として計算される。(※P5)

P10

原子は中心に正の電荷が集中し、周囲に負の電荷が分布した構造をもっている。

導出

これは実験的に確認された事実として認める。

よって、導出は行わない。

その実験の内容を紹介しよう。

原子の構造を示す実験として有名なのは 『 ラザフォードの散乱実験 』 である。

すでに前のページでも述べたように、J・J・トムソンは下図のような装置を用いて電子を発見した。



このとき、電子がマイナスの電荷をもっていることも分かった。

しかし、原子全体としての電荷は中性である。

よって、原子の中にはプラスの電荷をもつ何かが存在すると予想された。

そこで、2つの原子モデルが考案された。

1つはトムソンが考案した 『 ぶどうパン型のモデル 』 である。

このモデルではプラスの電荷のかたまりの中に、複数の電子が含まれている。



もう1つは長岡半太郎が考案した 『 土星型のモデル 』 である。

このモデルではプラスの電荷の周りを複数の電子が周回運動している。



現在の視点から見れば、長岡のモデルの方がより正しいことが分かる。

しかし、当時は長岡のモデルは支持されなかった。

というのも、長岡のモデルは当時の電磁気学の理論と矛盾していたからである。(※後のP11を参照)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

果たして、正しい原子の姿はどのようなものなのか?

α粒子はプラスの電荷をもっている。これを金属箔に照射することで、何か分かるかもしれない。



ラザフォードの実験によると、α粒子のほとんどは金属箔を直進して通過した。

ところが、大きく進路を曲げられるα粒子がわずかに存在した。

この実験結果は、プラス電荷が原子の中心部に集中して存在していることを示唆している。

定義 ( 古典的な原子モデル )

正の電荷をもった原子核の周囲を電子が周回運動する原子のモデルを考える。

このようなモデルを 『 古典的な原子モデル 』 という。

とくに、以下では下図のような水素原子の古典的な原子モデルを考えることにする。

P11

古典的な原子モデルは、電磁気学によって否定される。

導出

古典的な原子モデルによれば、電子は原子核の周りを円運動する。

電子は円運動するので、方向が常に変化していることになる。

つまり、電子は加速運動していると考えてよい。(※力学)

電磁気学によれば、電子が加速運動を行う場合、電子から電磁波が放出される。

電磁波を放出した電子はその分のエネルギーを失う。

よって、運動エネルギーが減少し、原子核に引き寄せられて衝突してしまうと考えられる。

すなわち、電磁気学の観点から見ると、古典的な原子モデルは安定に存在できない。

P12 ( ボーアの量子条件 )

物理学者二ールス・ボーアは 『 ボーアの量子条件 』 という仮説を立てた。

これにより、古典的な原子モデルの欠点を回避した。

ここで、古典的な原子モデルを考えよう。

電子の質量を m とし、速度を v とする。

また、周回運動の半径を r とする。

このとき、ボーアの量子条件は、次のように表される。



このとき、右辺の記号を簡略化して、次のように表すこともある。



プランク定数 h に横線が追加されたような記号を 『 ディラック定数 』 または 『 エイチバー 』 という。

導出

これは仮説であるから、導出などは行わない。

ただし、事の背景について触れておこう。

矛盾を解決するべく、ボーアは古典的な原子モデルに 『 ボーアの量子条件 』 を導入した。

ボーアの量子条件とは、「 電子の角運動量は量子化されている 」 という仮定である。

『 角運動量 』 とは、「 運動量×回転半径 」 のことである。(※力学)

よって、電子の角運動量を式で表すと mvr となる。

「 量子化されている 」 とは、「 角運動量が離散的な値のみをとる 」 という意味である。

ボーアの量子条件では、電子の角運動量は次のように特定の値しかとることができないと考えるのである。



この説明で全て解決したとまではいえないが、ボーアの量子条件は実験結果をうまく説明する。

定義 ( ボーアの原子モデル )

古典的な原子モデルにボーアの量子条件を導入したものを 『 ボーアの原子モデル 』 という。

P13

ボーアの量子条件 と ド・ブロイ波の式はうまく適合する。

導出

ボーアの量子条件より、



式変形すると、



ここで、λ=h/p とおいてみる。

すると、2πr=nλである。

この式において、左辺は軌道の円周の長さを表している。

右辺は、ド・ブロイ波がちょうど整数倍になることを表している。

つまり、円周においてド・ブロイ波の始端と終端がちょうど繋がるようになっている。

これは定常波が生じる条件になっていると考えられる。



もし、円周がド・ブロイ波の整数倍でなければ、位相の異なる波が重なりあって減衰してしまう。

参考

原子において、電子は原子核の周囲に確率的に分布している。

これが現在考えられている原子の構造である。



( 図は水素原子の場合 )

高校や中学では、原子の構造として、原子核の周りを電子がクルクルと回っているようなモデルを教えられる。

すなわち、古典的な原子モデルが教えられている。

実は、これは正しい原子の姿ではない。

実際の原子は、原子核の周囲に電子が確率的に分布した構造をもっていると考えられている。

これは、原子核の周りを電子が3次元的に回転しているという意味ではない。

不思議なことに、ミクロの世界では、電子をある位置に見出す存在確率としてしか知ることができない。

これは 「 電子の動きが速くて複雑だから確率でしか表せない 」 という意味ではなく、

「 純粋に確率的にしか表現できない 」 という意味である。

いきなり 「 電子の存在位置は確率的にしか表現できない 」 と言われても戸惑うかもしれない。

しかし、これを知ること(受け入れること)が量子力学の第一歩である。

もう少し詳しいことは後々の方でも説明する。

ただ、現在の科学でも、

「 なぜ電子の存在位置が確率的にしか表現できないのか?」

・・・という問いに明確に答えることはできない。

世界の仕組みそのものだから答えようがない、というのが現状である。

もちろん、将来的に何か新しい発見が出て、もう少し奥深くのカラクリが解明される可能性はある。

参考

水素を閉じ込めた真空管に電圧をかけて放電すると、真空管は発光する。

このような実験は1880年頃に知られていた。



このとき、水素放電管から発生する光を調べてみると、その光の波長は離散的に分布していた。

これらの波長は次式によって説明される。



これを 『 バルマーの公式 』 という。

また、このスペクトルを 『 バルマー系列 』 という。

数字にすると、波長は次のように表される。

6562  4861  4340  4101 ・・・ ( 単位はオームストロング )

これは、よく考えると不思議な現象である。

なぜ均等なスペクトル、または連続なスペクトルにならないのであろうか。

例えば、太陽光や白熱電球から得られるスペクトルはほぼ連続スペクトルになっている。

なぜ水素を閉じ込めた真空管から得られるスペクトルは特定の値をとるのか?

これに対して、バルマーはスペクトルの波長の数列を数式で表すことに成功した。(1885年)

その後、他にも別の系列として、リーマン系列、パッシェン系列などが発見される。

これらの系列はリュードべリの公式によってまとめられる。

リュードベリの公式はすぐ下で紹介する。

P14

水素原子のボーアの原子モデルを考える。

このとき、電子の軌道半径 r、電子のエネルギー E は次のように表される。

導出

古典的な原子モデルを考える。

このとき、電子は原子核の周りを周回運動していることになる。

すなわち、原子核が電子を引き寄せるクーロン力と、電子の遠心力がつり合っていると考える。

よって、



ここで、ボーアの量子条件を考える。(※P12)



これにより、v を消去すると、ボーアの原子モデルにおける電子の軌道半径は、



次に電子のエネルギーを考える。

電子のエネルギーは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを合計して、



(*1)と(*2)を用いて、E の式から v と r を消去する。

すると、ボーアの原子モデルにおける電子のエネルギーは、



P15 ( リュードベリの公式 )

各スペクトルの系列は次式によってまとめられる。



これを 『 リュードベリの公式 』 という。

補足

リュードベリの公式において リーマン系列、バルマー系列、パッシェン系列などは次のように表される。



=2 の場合が先のバルマー系列である。

導出

リュードベリの公式はボーアの原子モデルから計算できる。

エネルギー状態が n から n へ遷移したとする。

このとき放出される電磁波の振動数をνとすると、P14より、



式を整理すると、



両辺に 1/(hc)をかけると、



c=λν なので、

補足

バルマーの式が発見されたとはいえ、水素の発光スペクトルの分布に関する理論は謎に包まれていた。

バルマーは数字の配列のみを頼りに式を考え出したのである。

その後、ボーアの原子モデルが考案される。(1913年)

これにより、ようやく水素原子のスペクトルの謎が解明されていく。

補足 ( 量子化学的な視点 )

水素を含んだ真空管に放電を加えることで、線スペクトルが得られる理由を考えてみよう。

まず、放電条件下では水素分子が解離してH原子になる。

さらに、H原子に電子が衝突すると、H原子の電子が励起状態になる。

励起状態にあるH原子は不安定なので、すぐにもとの状態に戻る。

このとき、電子は軌道から軌道へジャンプする。

この電子軌道のエネルギー差に相当する光が放出されるのである。