ボーアの原子モデル→リュードベリの公式

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定義 ( 古典的な原子モデル )

正の電荷をもった原子核の周囲を電子が周回運動する原子のモデルを考える。

このようなモデルを 『 古典的な原子モデル 』 という。

とくに、以下では下図のような水素原子の古典的な原子モデルを考えることにする。

参考

古典的な原子モデルは、電磁気学によって否定される。

導出

古典的な原子モデルによれば、電子は原子核の周りを円運動する。

電子は円運動するので、方向が常に変化していることになる。

つまり、電子は加速運動していると考えてよい。(※力学)

電磁気学によれば、電子が加速運動を行う場合、電子から電磁波が放出される。

電磁波を放出した電子はその分のエネルギーを失う。

よって、運動エネルギーが減少し、原子核に引き寄せられて衝突してしまうと考えられる。

すなわち、電磁気学の観点から見ると、古典的な原子モデルは安定に存在できない。

要請 ( ボーアの量子条件 )

物理学者二ールス・ボーアは 『 ボーアの量子条件 』 という仮説を立てた。

これにより、古典的な原子モデルの欠点を回避した。

ここで、古典的な原子モデルを考えよう。

電子の質量を m とし、速度を v とする。

また、周回運動の半径を r とする。

このとき、ボーアの量子条件は、次のように表される。



このとき、右辺の記号を簡略化して、次のように表すこともある。



プランク定数 h に横線が追加されたような記号を 『 ディラック定数 』 または 『 エイチバー 』 という。

導出

これは仮説であるから、導出などは行わない。

ただし、事の背景について触れておこう。

矛盾を解決するべく、ボーアは古典的な原子モデルに 『 ボーアの量子条件 』 を導入した。

ボーアの量子条件とは、「 電子の角運動量は量子化されている 」 という仮定である。

『 角運動量 』 とは、「 運動量×回転半径 」 のことである。(※力学)

よって、電子の角運動量を式で表すと mvr となる。

「 量子化されている 」 とは、「 角運動量が離散的な値のみをとる 」 という意味である。

ボーアの量子条件では、電子の角運動量は次のように特定の値しかとることができないと考えるのである。



この説明で全て解決したとまではいえないが、ボーアの量子条件は実験結果をうまく説明する。

定義 ( ボーアの原子モデル )

古典的な原子モデルにボーアの量子条件を導入したものを 『 ボーアの原子モデル 』 という。

参考

ボーアの量子条件 と ド・ブロイ波の式はうまく適合する。

導出

ボーアの量子条件より、



式変形すると、



ここで、λ=h/p とおいてみる。

すると、2πr=nλである。

この式において、左辺は軌道の円周の長さを表している。

右辺は、ド・ブロイ波がちょうど整数倍になることを表している。

つまり、円周においてド・ブロイ波の始端と終端がちょうど繋がるようになっている。

これは定常波が生じる条件になっていると考えられる。



もし、円周がド・ブロイ波の整数倍でなければ、位相の異なる波が重なりあって減衰してしまう。

参考

原子において電子は原子核の周囲に確率的に分布している。

水素原子の場合について図示すると、

高校や中学では、原子の構造として、原子核の周りを電子がクルクルと回っているようなモデルを教えられる。

つまり、古典的な原子モデルが教えられている。

実は、これは正しい原子の姿ではない。

実際の原子は、原子核の周囲に電子が確率的に分布した構造をもつと考えられている。

これは 「 原子核の周りを電子が3次元的に回転している 」 という意味ではない。

また、「 電子の動きが速くて複雑だから確率でしか表せない 」 という意味ではない。

「 純粋に確率的に表現される 」 という意味である。

これを 『 ボルンの確率解釈 』 という。

参考

水素を閉じ込めた真空管に電圧をかけて放電すると、真空管は発光する。

このような実験は1880年頃に知られていた。



このとき、水素放電管から発生する光を調べてみると、その光の波長は離散的に分布していた。

これらの波長は次式によって説明される。



これを 『 バルマーの公式 』 という。

また、このスペクトルを 『 バルマー系列 』 という。

数字にすると、波長は次のように表される。

6562  4861  4340  4101 ・・・ ( 単位はオームストロング )

これは、よく考えると不思議な現象である。

なぜ均等なスペクトル、または連続なスペクトルにならないのであろうか。

例えば、太陽光や白熱電球から得られるスペクトルはほぼ連続スペクトルになっている。

なぜ水素を閉じ込めた真空管から得られるスペクトルは特定の値をとるのか?

これに対して、バルマーはスペクトルの波長の数列を数式で表すことに成功した。(1885年)

その後、他にも別の系列として、リーマン系列、パッシェン系列などが発見される。

これらの系列はリュードべリの公式によってまとめられる。

リュードベリの公式はすぐ下で紹介する。

P1

水素原子のボーアの原子モデルを考える。

このとき、電子の軌道半径 r、電子のエネルギー E は次のように表される。

導出

古典的な原子モデルを考える。

このとき、電子は原子核の周りを周回運動していることになる。

すなわち、原子核が電子を引き寄せるクーロン力と、電子の遠心力がつり合っていると考える。

よって、



ここで、ボーアの量子条件を考える。(※要請:ボーアの量子条件)



これにより、v を消去すると、ボーアの原子モデルにおける電子の軌道半径は、



次に電子のエネルギーを考える。

電子のエネルギーは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを合計して、



(*1)と(*2)を用いて、E の式から v と r を消去する。

すると、ボーアの原子モデルにおける電子のエネルギーは、



P2 ( リュードベリの公式 )

各スペクトルの系列は次式によってまとめられる。



これを 『 リュードベリの公式 』 という。

補足

リュードベリの公式において リーマン系列、バルマー系列、パッシェン系列などは次のように表される。



=2 の場合が先のバルマー系列である。

導出

リュードベリの公式はボーアの原子モデルから計算できる。

エネルギー状態が n から n へ遷移したとする。

このとき放出される電磁波の振動数をνとすると次を得る。(※P1)



式を整理すると、



両辺に 1/(hc)をかけると、



c=λν なので、

補足

バルマーの式が発見されたとはいえ、水素の発光スペクトルの分布に関する理論は謎に包まれていた。

バルマーは数字の配列のみを頼りに式を考え出したのである。

その後、ボーアの原子モデルが考案される。(1913年)

これにより、ようやく水素原子のスペクトルの謎が解明されていく。

補足 ( 量子化学的な視点 )

水素を含んだ真空管に放電を加えることで、線スペクトルが得られる理由を考えてみよう。

まず、放電条件下では水素分子が解離してH原子になる。

さらに、H原子に電子が衝突すると、H原子の電子が励起状態になる。

励起状態にあるH原子は不安定なので、すぐにもとの状態に戻る。

このとき、電子は軌道から軌道へジャンプする。

この電子軌道のエネルギー差に相当する光が放出されるのである。