留数定理とラプラス反転公式

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参考 ( フーリエ反転公式 )

f(t) を、区分的に滑らかな関数とする。

f(t) は、絶対可積分であるとする。

このとき、次が成り立つ。

ただし、上式の左辺は、不連続点 t=t で 2−1(f(t−0)+f(t+0)) を意味するとする。

P1 ( ラプラス反転公式 )

F(s) を複素変数関数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

いま、



積分変数 s を ω ( 実変数 ) に置換する。

いま、s:p−iω→p+iω で q:−ω→ω である。

また、ds=idq である。

よって、



ただし、最後の計算では f(t)=0 ( t≦0 ) として f(t) の定義域を拡張した。

よって、次のように計算できる。(※フーリエ反転公式)

P2 ( ラプラス反転公式は留数定理によって計算できる )

F(s)を関数とする。

f(t)=L−1[F(s)](t) とおく。

ある M>0、m≧1 ( m は整数 ) が存在して、|F(s)|≦M/R であるとする。

このとき、

補足

ただし、R、・・・、R は F(s)est の留数である。

証明

下図のように積分経路をとる。



p を十分大とすると、F(s)est の特異点は閉曲線の内部に含まれる。

また、q→∞ は R→∞ に相当する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

θ を、x軸と線分 BO が成す角とする。

弧 BC は s=Reiθ で表される。

いま、ds=iReiθdθ である。

よって、



同様に、



同様に、



一方、次が成り立つ。(※留数定理)



よって、q→∞ ( R→∞ ) とすると、