周期的境界条件→フェルミ面→MOS界面→量子細線

サイトのTOP→理系インデックス





参考

このページでは次の手順で議論する。

(1) 周期的境界条件

(2) フェルミ面

(3) MOS界面

(4) 量子細線

(5) コンダクタンスの量子化

ただし、量子力学に不慣れな人が読むことも想定し、議論は量子力学の基礎から出発する。

参考 ( 量子力学入門 )

このページでは量子力学の知識を少し用いる。

そこで、必要な分だけ量子力学の基礎を解説しておく。

量子力学では粒子の状態を 『 波動関数 』 によって表す。

波動関数の2乗は粒子の存在確率を表す。

よって、波動関数の振幅が大きい位置では粒子の存在確率が大きい。

ただし、波動関数のスカラー倍は同じものと見なす。

つまり、波動関数 φ(x) と Cφ(x) は全く同じものと見なす。

また、波動関数は次の式を満たす。



これを 『(時間に依存しない)シュレディンガ方程式 』 という。

シュレディンガ方程式は力学の運動方程式に相当する。

力学では運動方程式を解くことが目的であった。

量子力学ではシュレディンガ方程式を解くことが目的となる。

むろん、シュレディンガ方程式の解は系の状態によって異なる。

例えば、系のポテンシャル V(x) がどのような形をしているかによって解が変化する。

とくに、V(x)=0 の場合を 『 自由粒子 』 という。

V(x)=0 の場合の解は φ(s)=eikx である。

電子の場合、自由粒子は金属内の自由電子に相当する。

定義 ( オペレータ )

関数の集合を定義域とする関数を 『 オペレータ 』 という。

オペレータ、演算子、作用素は基本的に同じ意味である。

例えば、d/dx をオペレータと見なすことができる。

実際、関数 f を入力すると、df/dx を出力する。

一般に、オペレータを A などのように表す。

つまり、関数 ψ を入力すると、その出力は Aψ と表される。

参考 ( シュレディンガの置き換え )

量子力学において、物理量はオペレータに対応している。

例えば、A を物理量 A に対応するオペレータとする。

このとき、A をψに作用させると、演算結果として A が出る。

つまり、Aψ=Aψである。

例えば、運動量オペレータ p を作用させると、演算結果として運動量 p が出る。

ここで、

「 なぜこのようなことが成り立つのか? 」

「 そもそも、演算結果として出るとはどういうことか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

むろん、これらの詳細を理解することは重要である。

しかし、量子力学を最初から完全に説明することは不可能である。

とりあえずは 「 上記のような対応関係があるのだな 」 と納得することで読み進めてよい。

定義 ( エルミートオペレータ )

をオペレータとする。

∧† を A の複素共役で、左の関数に作用するオペレータとする。

つまり、



このとき、A∧† を 『 Aのエルミート共役 』 という。

とくに A=A∧† であるとき、A を 『 エルミートオペレータ 』 という。

、B をオペレータとする。

このとき、(A=B∧†∧† である。

実際、

ここでは詳細には踏み込まないが、量子力学においてオペレータはエルミートでなければならない。

参考 ( 運動量オペレータのエルミート性 )

運動量オペレータはエルミートである。

証明

粒子は全空間のどこかに見出されるので∫|ψ|dr=1 である。

この積分が存在するのであれば、limr→∞ψ(r)=0 を要請することは自然である。(★)

を運動量オペレータとする。

を p の x 成分とする。

つまり、



いま、要請(★)より、次のように計算できる。



さらに、y と z に関して積分すると、



さらに、y 成分と z 成分を合わせると、



一方、



よって、



いま、任意のχに対して上式が成り立つ。

よって、p∧†ψ=pψである。(厳密な証明は省略する)

いま、ψは任意である。

よって、p∧†=pである。

参考

運動量オペレータの固有関数は、



実際、



ところが、固有関数(*)は上の参考の証明で要請した limr→∞ψ(r)=0 を満たしていない。

これは不都合である。

この問題を解決する方法として 『 周期的境界条件 』 がある。

以下、周期的境界条件を議論し、そこから自由電子系を議論する。

P1 ( 自由電子系の分散関係 )

次のシュレディンガ方程式を考える。



このとき、基本解は、



また、

補足

一般に、エネルギー E と波数 k の関係を 『 分散関係 』 という。

補足

3次元のシュレディンガ方程式は、



つまり、今回は V(r)=0 の場合である。

これは金属中の自由電子に相当する。

証明

簡単化して、2次元の場合について考える。

つまり、



ここで、ψ(x、y)=X(x)Y(y)とおく。

これを上式に代入し、両辺を XY で割る。

すると、



上式左辺の第1項は x のみの関数であり、第2項は y のみの関数である。

いま、x と y は独立しているが、その和は定数 E である。

つまり、第1項と第2項は定数である。

そこで、次のようにおく。



第1式の基本解として次を採用できる。



( 本によっては k>0 として採用している場合もある )

( k>0 とする場合は exp(±ikx)となる )

第2式の基本解も同様である。

よって、



同様に、3次元では、

P2 ( 周期的境界条件におけるエネルギー固有値 )

座標軸と直交する6面から成る直方体を考える。

x軸、y軸、z軸と面の交点は x=−L/2、L/2、y=−L/2、L/2、z=−L/2、L/2 であるとする。

次のような境界条件を与える。

(*1) ψ(−L/2、y、z)=ψ(L/2、y、z)

(*2) ψ(x、−L/2、z)=ψ(x、L/2、z)

(*3) ψ(x、y、−L/2)=ψ(x、y、L/2)

このとき、運動量オペレータはエルミートである。(★)

また、



補足

=L=L の場合、(2)の右辺は(n、n、n)=(1、0、0)、(0、1、0) で等しい値をもつ。

このように異なる量子状態が等しいエネルギーをもつとき、そのエネルギー準位は 「 縮退している 」 という。

例えば、水素原子のポテンシャルは球対称なので縮退している。

ただし、外部要因によって対称性が崩れると縮退はなくなる。

補足

もしかしたら、

「 直方体を議論するだけでは現実の問題に応用できないのでは? 」

・・・と疑問をもつ人がいるかもしれない。

しかし、今回の議論は試料が直方体でなくても適用できる。

実際、試料の内部に仮想的な直方体を考えて議論することは有用である。

これについては後で議論する。

(★)の証明

次のように計算できる。(※定理で仮定した境界条件)



つまり、運動量オペレータはエルミートである。

(1)と(2)の証明

基本解はψ(r)=exp(ik・r)である。(※P1)

これを境界条件(*1)に代入する。

すると、exp[i(−k(L/2)+ky+kz)]=exp[i(k(L/2)++ky+kz)] である。

よって、k=2nπ ( n=0、±1、±2、・・・ ) である。

つまり、k=(k、k、k)=(2nπ/L、2nπ/L、2nπ/L) である。

また、P1より、

定義 ( k空間 )

波数 k=(k、k、k)を3次元格子と見なした空間を 『 k空間 』 という。

座標軸と直交する6面から成る直方体を考える。

x軸、y軸、z軸と面の交点は x=−L/2、L/2、y=−L/2、L/2、z=−L/2、L/2 であるとする。

いま、x軸方向に隣り合う格子点の距離は 2π/L である。

同様に、y軸方向は 2π/L であり、z軸方向は 2π/L である。

よって、k空間の体積(2π)/Ω ( ただしΩ=L ) に1個の電子が存在する。

要請 ( パウリの原理 )

電子は上向きスピン↑と下向きスピン↓という2つの状態をもつ。

つまり、電子の量子状態は(k、↑)または(k、↓)によって指定される。

また、同一の k に対して同じ向きのスピンは高々1個入る。

つまり、同一の k に対して電子は高々2個入る。

つまり、1つの格子点に対して電子は高々2個入る。

これを 『 パウリの原理 』 という。

量子状態と区別するために k を 『 軌道状態 』 と呼ぶこともある。

ここでは 「 電子スピンとは何か?」 ということには踏み込まず、上記の法則を要請として認める。

定義 ( フェルミ球、フェルミ面、フェルミエネルギー )

N個の電子に対して電子配置を考える。

この電子系のエネルギー総和は EtotalE(k)である。

ただし、上式右辺は占有されている量子状態のエネルギー和を意味する。

いま、E(k)は k に比例する。

よって、電子のエネルギーは k 空間の原点に近い方が小さい。

よって、個数 N が十分に大きい場合、エネルギーが最小となる電子配置は原点を中心とする球である。

これを 『 フェルミ球 』 という。

また、フェルミ球の表面を 『 フェルミ面 』 という。

また、フェルミ球の半径を 『 フェルミ波数 』 という。

フェルミ波数を k と表す。

フェルミ面上の電子のエネルギーを 『 フェルミエネルギー 』 という。

むろん、フェルミエネルギーは次のように表される。

P3 ( フェルミ波数は電子数密度の1/3乗に比例する )

体積Ωの直方体に N 個の電子が含まれているとする。

このとき、N/Ω=k/3π である。

証明

電子は k 空間の体積(2π)/Ω ( ただしΩ=L ) に1個だけ含まれている。(※定義:k空間)

よって、次のように置き換えることができる。



よって、

定義 ( 状態密度 )

エネルギー E から E+dE の間にある量子状態の個数を N(E)dE と表す。

このとき、N(E)を 『 状態密度 』 という。

状態密度は統計物理学において有用である。

P4 ( 電子のエネルギー密度、電子の状態密度 )

フェルミ球の各格子点が2個の電子によって占有されているとする。

このとき、電子のエネルギー密度は、



また、電子の状態密度は、

補足

式(1)の右辺には体積Ωが現れていない。

つまり、式(1)の右辺は直方体の大きさに依存しない値である。

このように仮想的な直方体から出発することによって、物質固有の性質を求めることができる。

補足

以下で示す(2)の証明は統計物理学で用いられる論法である。

(1)の証明

エネルギーの総和は、



上式(*1)の被積分関数は k の強度にのみ依存している。

よって、領域 k〜k+dk への積分の寄与は 4πk と考えることができる。

これによって(*1)から(*2)の計算が正当化される。

(2)の証明

N(E)dE は 「 E から E+dE の間にある量子状態の個数 」 である。(※状態密度)

以下のエネルギーをもつ1個の量子状態は1個の電子によって占有されている。

よって、E以下で E から E+dE の間にある電子の個数は N(E)dE である。

よって、



( これは(1)の 2k≦k に相当する )

ここで、エネルギーが E より小さな量子状態の個数全体をΓ(E)と表す。

いま、



よって、次のように計算できる。(※因子2はスピンの自由度を意味する)



よって、定義(状態密度)より、

P5 ( 2次元、1次元の状態密度 )

面積 S=L の2次元状態密度は、



長さ L=L の1次元状態密度は、

(1)の証明

いま、面積 (2π)/S に1個の電子がある。

また、2次元 k 空間におけるフェルミ半径 k は3次元の場合と同じである。

よって、2次元フェルミ球の面積は、



よって、エネルギー E 以下の状態数は、



よって、状態密度は次のように計算される。(※因子2はスピンの自由度を意味する)

(2)の証明

いま、長さ 2π/L に1個の電子がある。

また、1次元 k 空間におけるフェルミ半径 k は3次元の場合と同じである。

よって、1次元フェルミ球の面積は k である。

よって、エネルギー E 以下の状態数は、



よって、状態密度は次のように計算される。(※因子2はスピンの自由度を意味する)

P6 ( MOS界面 )

金属(M)、酸化物絶縁体(O)、半導体(S)を下図のように合わせる。



このとき、電子のエネルギーは、



ただし、記号 Ezn と k の意味は以下の証明中で述べる。

補足

ポテンシャルを図示すると、



いま、金属ゲート(M)が正となるように電圧が加えられている。

よって、半導体(S)は負に帯電する。

この負電荷は金属ゲートの正電荷に引き寄せられ、絶縁体(O)の近くに集まる。

つまり、電子は O と S の中間に集中し、2次元的に分布する。

電子が2次元的に分布する系を 『 2次元系 』 という。

つまり、MOS界面は2次元電子系を実現する。

補足

試料中の電子は低エネルギーの方から順番に量子状態を占有する。

最もエネルギーが大きい電子のエネルギーを E と表す。

つまり、この E はフェルミ・エネルギーに相当する。

また、エネルギー E を図示すると、回転放物面となる。



各エネルギー固有値の集合(円)を 『 エネルギー・サブバンド 』 という。

例えば、Ez1>E>Ez0 ならば、問題となる電子のエネルギーは、



つまり、すべての電子の量子状態は m=0 のサブバンドに属する。

証明

今回、(x、y)方向のポテンシャルと z 方向のポテンシャルは独立している。

よって、シュレディンガ方程式は次のように表される。



また、ポテンシャルは x や y に依存しないので V=0 としてよい。

ここで、ψ(r)=ψ(x、y)Z(z) とおく。

これを上式に代入すると、



ただし、Δ=∂/∂x+∂/∂y である。

上式の第1項は(x、y)のみの関数であり、第2項は z のみの関数である。

つまり、(x、y) と z は独立していて、右辺は定数 E である。

よって、第1項と第2項は定数である。

そこで、次のようにおく。





既に述べたように V=0 であるから、





いま、z=0 で V(z)は非常に大きい。

また、z→∞ で V(z)→V である。

よって、(*2)より、Z(0)=0、limz→∞Z(z)=0 である。(★)

つまり、(★)は境界条件である。

よく知られているように、(*1)に対し、



境界条件(★)で(*2)を解いたときの n 番目のエネルギー固有値を Ezn とする。

すると、

P7 ( 量子細線 )

2次元電子系に対し、さらに下図のようなポテンシャル V を加える。



このとき、電子のエネルギーは、

証明

P6の証明で確認したように、(x、y)平面のシュレディンガ方程式は、



x 軸方向と y 軸方向のポテンシャルは独立しているので次のように表してよい。



ここで、ψ=X(x)Y(y) とおく。

すると、P1と同様に、





いま、V=0 としてよいので、





よく知られているように、(*1)に対し、



(*2)を解いたときの m 番目のエネルギー固有値を Eym とする。

すると、

P8 ( コンダクタンスの量子化 )

2つの電極を量子細線でつなぐ。

左の電極に −V を加える。

すると、この電極のポテンシャルは (−e)(−V)=eV だけ上がる。

このとき、量子細線を通る電流は、

補足

図示すると、

補足

つまり、量子細線のコンダクタンスは G=I/V=(2e/h)n である。

つまり、量子細線のコンダクタンスは量子化されている。

ただし、実際には共鳴現象も出るのでそれを考慮する必要がある。

証明

いま、左の電極は eV≦E≦eV+E のエネルギーが占有されている。

また、右の電極は 0≦E≦E のエネルギーが占有されている。

よって、右の電極中の電気は量子細線の左端で反射されるので電流に寄与しない。

また、左電極中の eV≦E≦E は左右の流れが等しいので電流への寄与は正味 0 である。

よって、量子細線の電流に寄与するのは次を満たす k をもつ運動量固有関数で表される電子である。



n 番目のサブバンドにおいて運動量固有値が k となる電子による電流を長さ L で規格化すると、



よって、次のように計算できる。(※P5)



上の計算において因子 1/2 は k>0 のみが電流に寄与することによる。