線形差分方程式

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定義 ( 連立1階定数係数線形差分方程式 )

x: を写像とする。(s∈

A∈M(s、)とする。

x(n+1)=Ax(n)が成り立つとする。

このような連立方程式を 『 連立1階定数係数線形差分方程式 』 という。

次のようにおく。



このとき、x(n+1)=Ax(n)は次のように表せる。

P1

x(n+1)=Ax(n)を連立1階定数係数線形差分方程式とする。(★)

a∈ を任意にとる。

このとき、(★)の解 x が存在して、x(1)=a を満たす。

しかも、このような x は一意である。

これは x(n)=An−1a と表せる。

証明

明らかである。

P2

x: を写像とする。(s∈

x(n+1)=Ax(n)を連立1階定数係数線形差分方程式とする。(★)

V を(★)の解全体とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) V は 上のベクトル空間である。

(2) V と は同型である。

一方、x、・・・、x∈V とする。

このとき、次は同値である。

(3) { x、・・・、x } は V の基底である。

(4) 各初期値 x(1)、・・・、x(1)∈ は1次独立である。

(1)の証明

x、y∈V とおく。

α、β∈ とおく。

いま、A(αx+βy)(n)=αx(n+1)+βy(n+1)=(αx+βy)(n+1)である。

よって、αx+βy∈V である。

よって、V は 上のベクトル空間である。

(2)の証明

f:V→ を f(x)=x(1)で定義する。

明らかに、f は線形写像である。

明らかに、f は全単射である。(※P1)

よって、f は同型写像である。

(3)⇔(4)の証明

(2)の証明における f の定義より明らかである。

定義 ( 解の基本系 )

x: を写像とする。(s∈

x(n+1)=Ax(n)を連立1階定数係数線形差分方程式とする。(★)

V を(★)の解全体とする。

、・・・、x を V の基底とする。

このとき、x、・・・、x を 『(★)の解の基本系 』 という。

X:→M(s、)を X(n)=(x(n)、・・・、x(n))で定義する。

このとき、X を 『(★)の解の基本行列 』 という。

P3

x: を写像とする。(s∈

x(n+1)=Ax(n)を連立1階定数係数線形差分方程式とする。(★)

V を(★)の解全体とする。

、・・・、x∈V とする。

x を(★)の任意の解とする。

X を(★)の解の基本行列とする。

このとき、次の(1)〜(3)は同値である。

(1) x(1)、・・・、x(1)が解の基本系である。

(2) x(1)、・・・、x(1)が1次独立である。

(3) (x(1)、・・・、x(1))=X(1)が正則行列である。

また、次の(4)、(5)が成り立つ。

(4) X(n)=An−1X(1)

(5) x(n)=X(n)(X(1)−1x(1))

(1)⇔(2)⇔(3)の証明

明らかである。

(4)の証明

明らかである。(※P1)

(5)の証明

(4)より、明らかである。(※P1)

P4

x: を写像とする。(s∈

x(n+1)=Ax(n)を連立1階定数係数線形差分方程式とする。(★)

を A のジョルダン標準形とする。

つまり、ある正則行列 P∈M(s、)が存在して、J=P−1AP である。

このとき、PJn−1(n∈)は(★)の解の基本行列である。

証明

いま、P=(p、・・・、p)は正則である。

よって、p、・・・、p は1次独立である。

いま、ある(★)の解 x が存在して、x(1)=p となる。(※P1)

また、x、・・・、x は(★)の解の基本系である。

また、x(n)=An−1(1)=(PJ−1n−1)p=(PJn−1)e である。

( e は縦ベクトルで、第 i 行が1、それ以外は 0 である )

(PJn−1)e は行列(PJn−1)の第 i 列のベクトルを意味する。

よって、X(n)=PJn−1 である。

定義 ( 単独 n 階定数係数線形差分方程式 )

写像 x を次のように定義する。



( ただし、s は固定されていることに注意 )

このとき、x を 『 単独 n 階定数係数線形差分方程式 』 という。

明らかに、x は初期値 x(1)、・・・、x(s)を与えれば一意に定まる。

P5

定義(単独 n 階定数係数線形差分方程式)の状態を引き継ぐ。

次のようにおく。



次の関係を考える。



これは連立1階定数係数差分方程式である。

(**2)の第 s 成分は(**1)と同じである。

この意味で、(**2)は連立1階定数係数線形差分方程式と見なされる。

証明

明らかである。( というより、証明は定理の中に書かれている )

注意

以後、(**1)、(**2)は上記の意味で用いる。

P6

a∈ を任意にとる。

このとき、(**1)の解 x で、初期条件 y(1)=(x(1)、・・・、x(s))=a を満たすものが存在する。

しかも、これは一意である。

これは x(n)=「 An−1y(1)の第1成分 」 で表される。

証明

明らかである。

P7

W を(**2)の解全体とする。

このとき、次の(1)、(2)が成り立つ。

(1) W は 上のベクトル空間である。

(2) W と は同型である。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

f:W→ を f(x)=y(1)で定義する。

いま、f は同型写像である。

定義 ( 解の基本系 )

W を(**1)の解全体とする。

、・・・、x を W の基底とする。

このとき、x、・・・、x を 『(**1)の解の基本系 』 という。

写像 X:→Ms−1、s)を次のように定義する。



このとき、X を 『(**1)の解の基本行列 』 という。

P8

、・・・、x を(**1)の解とする。

、・・・、y を(**2)の意味で、x、・・・、x に対応する 値関数とする。

このとき、次の(1)〜(3)は同値である。

(1) x、・・・、x は(**1)の解の基本系である。

(2) y(1)、・・・、y(1)は1次独立である。

(3) x、・・・、x は(**2)の解の基本系である。

つまり、『 x、・・・、x の解の基本行列 』 と 『 y、・・・、y の解の基本行列 』 は一致する。

証明

明らかである。

ただし、(3)の解の基本系は連立1階定数係数線形差分方程式のみであることに注意。