ストークスの仮説→Φ≧0→「pΘとμΦの物理的意味」

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参考 ( 概要 )

このページでは 「 散逸関数≧0 」 と 『 ストークスの仮説 』 が同値であることを示す。

図示すると、

要請 ( ストークスの仮説 )

σ=−pI+2μD+λΘI をニュートンの構成式とする。

このλとμに対して λ=−(2/3)μ が成り立つ。

これによってニュートンの構成式からλを消去できる。

「 ストークスの仮説 」 の正当性を簡単に解説しておく。

また、ニュートン流体の構成式を成分で表すと、



ここで、i=j として規約をとる。

つまり、i=j として i=1、2、3 で和をとる。

すると、σii=−3p+2μΘ+3λΘである。

つまり、σii/3=(σ11+σ22+σ33)/3=−p+[(2μ+3λ)/3]Θ である。

上式右辺は3方向の垂直応力の平均値である。

そこで、これを熱力学的な圧力 p に等しいと仮定する。

つまり、σii/3=−p とおく。

すると、2μ+3λ=0 である。

つまり、λ=−(2/3)μ である。

もしかしたら、

「 圧力は熱平行状態で定まる量だから、上記の仮定は不適切なのでは? 」

・・・と考える人がいるかもしれない。

しかし、ここでは巨視的な運動や変形は局所的には影響しないと考える。

これを 『 局所平衡 』 という。

ただし、上記の議論だけでは 「 ストークスの仮説 」 の正当性を示すには不十分である。

そこで、以下ではさらに詳しく議論する。

復習 ( グリーンの定理 )

f(x、x、x)を3変数実数値関数とする。

V を3次元の領域とする。

S を V の表面とする。

=(n、n、n)を S の(外向き)単位法ベクトル場とする。

このとき、

復習 ( 歪み速度テンソル )

歪み速度テンソルは、

復習 ( 連続体力学の基礎方程式 )

連続の式は、



(ストークスの仮説に基づく)ニュートン流体の構成式は、



これを成分で表すと、



(連続体の)運動方程式は、



(連続体の)全エネルギー式は、

運動方程式を(ストークスの仮説に基づく)ニュートン流体の構成式に代入すると、



これを 『 ナヴィエ・ストークス方程式 』 という。

全エネルギー式の右辺第1項を 『 拡散輸送項 』 という。

全エネルギー式の右辺第2項を 『 応力輸送項 』 という。

実際、次のように表せる。(※グリーンの定理)





つまり、拡散輸送項は 「 熱の拡散 」 に相当する。

むろん、熱の拡散は 「 熱伝導(高温から低温に熱が流れることで熱が拡散する現象)」 を意味する。

ここで、「 輸送 」 は 「 エネルギーの形態が変化せずに取引されること 」 を意味する。

固体壁 S によって囲まれた閉空間 V を考える。

ここで、応力輸送項を全空間 V で積分してみよう。

いま、固体壁上で流速は 0 である。

よって、次のように計算できる。(※復習:グリーンの定理)



むろん、応力輸送項は局所的には 0 ではない。

しかし、(閉じた系において)領域全体のエネルギー収支には影響しない。

同様の議論は拡散輸送項についても成り立つ。

P1 ( 運動エネルギー式、内部エネルギー式 )

運動エネルギー式は、



内部エネルギー式は、

補足

ただし、



この Φ を 『 散逸関数 』 という。

補足

むろん、「 運動エネルギー式 」 と 「 内部エネルギー式 」 の和は 「 全エネルギー式 」 となる。

補足

運動エネルギー式の右辺第1項は 『 応力輸送項 』 である。

内部エネルギー式の右辺第1項は 『 拡散輸送項 』 である。

既に確認したように、これらはグリーンの定理を通して 「 周囲の環境 」 と取引される。

補足

運動エネルギー式の第4項は 『 体積力による仕事 』 である。

内部エネルギー式の第4項は 『 熱源 』 である。

これらは 「 外部要因 」 による。

補足

pΘ は 『 断熱膨張仕事 』 である。(詳しくは後述)

μΦ は 『 流体摩擦による運動エネルギーの不可逆損失 』 である。(詳しくは後述)

実際、運動エネルギー式において pΘ の寄与は + であり、内部エネルギーの式では − である。

また、運動エネルギー式において μΦ の寄与は − であり、内部エネルギーの式では + である。

つまり、運動エネルギー式で減少(増加)した分は内部エネルギーの増加(減少)に寄与する。

つまり、これらのエネルギーは 「 系の内部 」 で取引される。

(1)の証明

次のように計算できる。(※復習:ストークスの仮説に基づくニュートン流体の構成式)



復習(運動方程式)に速度 v を掛けると、

(2)の証明

ε=u+v とおく。

復習(全エネルギー式)から、上で求めた運動エネルギー式を引くと、

P2 ( 散逸関数≧0 )

散逸関数 Φ はつねに非負である。

証明

次のように計算できる。(※Dは対称テンソル)



よく知られているように、trD と tr(D) はテンソルの座標変換不変量である。

よって、Φは座標変換に対して不変である。

よく知られているように、対称行列は対角化可能である。

つまり、ある直交行列 P が存在して、



よって、



以上により、

P3 ( pΘとμΦ )

既に確認したように、運動エネルギー式や内部エネルギー式において pΘ やμΦの項が現れる。(※P1)

これらの物理的な意味は次のようになる。

(1) pΘは断熱膨張仕事である。

(2) μΦは流体摩擦による運動エネルギーの不可逆損失である。

(1)の証明

v を流体の比体積とする。

つまり、v=1/ρである。

いま、次のように計算できる。(※復習:連続の式)



よって、



膨張の場合、Dv>0 であり、pDv は系が外界に成す仕事を意味する。

(2)の証明

既に確認したように、Φ≧0 である。(※P2)

よって、項μΦは運動エネルギー式でつねに負の寄与をする。

一方、μΦは内部エネルギー式でつねに正の寄与をする。

よって、μΦは摩擦によるエネルギー損失と考えられる。

参考 ( ストークスの仮説⇔「散逸関数≧0」 )

ここまでの議論をまとめると 「 ストークスの仮説→Φ≧0→pΘとμΦの物理的意味 」 である。

また、最終的に得られた結果 「 pΘとμΦの物理的意味 」 は実験結果と合う。

ゆえに、これは「ストークスの仮説」の正当性を示唆する。