最小作用→特殊相対論の運動方程式

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参考 ( 概要 )

このページでは 『 最小作用の原理 』 から 『 特殊相対論の運動方程式 』 を導く。

最小作用の原理は 『 解析力学 』 と呼ばれる分野の内容である。

ただし、以下では解析力学の知識がない人にも分かるように説明する。

要請 ( 最小作用の原理 )

q を一般化座標とする。

(t)を、q(t)の時間微分とする。

ある作用汎関数 S[q(t)] が存在して、次の形で表せる。



また、この停留値から q(t) の t=t から t=t までの時間発展が定まる。

ただし、停留値を求めるときにはδq(t)=δq(t)=0 を仮定する。(端点固定)

一般化座標について説明する。

例えば、N個の質点系は3N個の変数(x、x、x)、・・・、(x3N−2、x3N−1、x3N)によって表される。

しかし、議論において各座標を区別する必要はないことが多い。

そこで、これら 3N 個の変数を q、・・・、q3N と表してよい。

さらに、そもそも 3N 個である必要はないので q、・・・、q としてよい。

さらに、これらをまとめて q または q と表してよい。

このような表記を 『 一般化座標 』 という。

通常、関数とは、数を入力すると、数を出力するシステムである。

一方、汎関数とは、関数を入力すると、数を出力するシステムである。

実際、S[q(t)]は関数 q(t) に対して数が定まる。

上では S[q(t)] が汎関数であることを説明した。

つまり、S[q(t)]の定義域は関数の集合である。

ただし、すべての関数を含む定義域は大きすぎる。

そこで、「 定義域に属する関数はすべて端点(t=t、t)で同じ値をもつ 」 と仮定する。

これを 『 端点固定 』 という。

L(q(t)、q(t))を 『 ラグランジアン 』 という。

これは系によって形が異なる。

ただし、ラグランジアンが共通して満たす関係式がある。

それは 『 オイラー-ラグランジュ方程式 』 と呼ばれるもので、以下で登場する。

q(t) と q(t) は独立変数であることに注意する。

実際、速度 q(t) が同じで q(t) が異なることはあり得る。

むろん、q(t) を q(t) で微分すると 0 になる。

P1 ( オイラー-ラグランジュ方程式 )

ラグランジアン L に対して次が成り立つ。



これを 『 オイラー-ラグランジュ方程式 』 という。

証明

一般に、関数 f(x) に対し、



つまり、



ただし、O(δx)は δx→0 と同程度の速さで 0 に収束する項を意味する。

明らかに、「 f(x)が極値をとる 」⇔「 各δxに対してδf=0 」 である。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、次のように計算できる。(※部分積分)



上式の第2項は 0 である。(※端点固定)

上式の第3項 O(δq) は無視してよい。

よって、(★)より、

P2 ( 最小作用の原理→特殊相対論の運動方程式 )

ラグランジアンを次のように定める。



このとき、次が成り立つ。



つまり、(外力がない場合の)特殊相対論の運動方程式が得られる。

補足

特殊相対論の運動方程式は次のように定義される。

証明

いま、次のように計算できる。(※P1の証明で示した式)



つまり、



よって、



つまり、



両辺に v を掛けて i について和をとると、



つまり、



よって、



(*1)と(*2)より、