線積分に対する直観的説明〜物理ver

サイトのTOP→理系インデックス





定義 ( 中心力 )

O を原点とする。

P を質点の位置とする。

を質点に作用する力とする。

線分 OP と F は平行であるとする。

このとき、F を 『 点 O を中心とする中心力 』 という。

例えば、クーロン力や万有引力は中心力である。

定義 ( 保存力 )

質点が位置 r から r まで移動したとする。

その間、力 F がする仕事は経路に依存しないとする。

このとき、F を 『 保存力 』 という。

後で示すように、中心力は保存力である。

参考 ( 内積に対する直観的理解 )

物体に力を作用させて直線上を動かす。

力の大きさを F とする。

物体の動いた距離を s とする。

「 力の向き 」 と 「(物体の)変位の向き 」 が成す角をθとする。



このとき、力が成す仕事は W=Fscosθ である。

ところで、角度θは 「 力の向き 」 と 「 変位の向き 」 が分かれば自然に定まる量である。

つまり、ベクトル F と s が分かれば、θを表す必要がない。

そこで、F・s=Fscosθ と定義して、これを 『 F と s の内積 』 という。

このように、力学の仕事を考えると、内積という量が自然に登場する。

むろん、F=|F|であり、s=|s|である。

つまり、F・s=|F||s|cosθ である。

参考 ( 線積分は仕事である )

電荷 Q と q を考える。

電荷 Q を固定する。

電荷 q を点 O から点 P に移動させるために必要な仕事を求める。

O から P に至る経路Γを1つ選ぶ。

つまり、この曲線Γに沿って q が動くとする。

まず、曲線Γを小区間 Δs に分割する。

Δs が十分小ならば、各小区間を直線と見なしてよい。

また、1つの区間内での電場は一定であるとしてよい。

いま、1つの区間に注目し、そこでの電場を E とする。

この区間において電荷 q に作用する力は qE である。

よって、電荷 q を準静的に動かすためには中心力と逆向きの力を加える必要がある。

( このような力がなければ、電荷は加速度をもち、準静的にならない )

( 準静的は 「 無限時間かけてゆっくり動かす 」 を意味する )

この区間における経路Γの単位接ベクトルを t とする。

いま、電荷 q がこの区間を移動するときに伴う変位ベクトルは Δst である。

よって、電荷を移動させるために必要な仕事は、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

もしかしたら、

「 E や t の変数は r だから、それを s で積分することはできないのでは? 」

・・・という疑問をもつ人がいるかもしれない。

たしかに、E=E(r)であり、t=t(r) である。

ただし、経路の点を O からΓに沿って測った距離 s で表すこともできる。

つまり、E・t を s の関数として表すことができる。

つまり、∫Γ・tds は意味をもつ。

これを 『 線積分 』 という。

つまり、線積分は仕事である。

参考

中心力は保存力である。

補足

この他、一様に一方向に作用する力も保存力である。

例えば、「 コンデンサの電場 」 や 「 重力 」 などがそうである。

むろん、「コンデンサの電場」は点電荷の電場から成り、「重力」は万有引力から成る。

つまり、本質的には同じことである。

証明

物体を準静的に移動させるためには中心力と逆向きの力を加える必要がある。

その力を F とする。

をΓの単位接ベクトルとする。

と t の成す角をθとする。

いま、電荷を移動させるための仕事は、ΔW=F・tΔs=FΔs・cosθ=FΔs’である。

また、Δs’は QA−QB に等しい。

ここで、O と Q を結ぶ直線上に QA=QA’ と QB=QB’ が成り立つように A’ と B’ をとる。



仕事 ΔW は 「 物体を OQ に沿って A’ から B’ まで移動させる仕事 」 に等しい。

つまり、次は等しい。

(*1) 物体を経路Γに沿って O から P まで移動させるための仕事

(*2) 物体を O から P’ まで直線的に移動させるための仕事

つまり、任意の経路に沿う仕事は(2)に等しい。

つまり、仕事は経路に依存しない。

つまり、中心力は保存力である。

補足

ちなみに、下図のような場合も成り立つ。

この場合、R→R と R→P の仕事は打ち消し合う。

定義 ( 静電ポテンシャル )

基準点 O を固定する。

点 P の位置ベクトルを r とする。

次のように定める。



このとき、φ(r)を 『 静電ポテンシャル 』 という。

これを 『 電位 』 と呼ぶこともある。

上記のように定義できるのは、線積分が経路に依存しないと保障されているからである。

注意

静電ポテンシャルの基準点として無限遠を採用する。

参考 ( 点電荷のポテンシャル )

点電荷 q の位置を r とする。

このとき、点電荷 q の静電ポテンシャルは、

補足

複数個の点電荷 q、・・・、q がある場合、



電荷が連続的に密度 ρ(r) で分布している場合、

証明

明らかに、点電荷から成る電場は球対称である。

つまり、点電荷から成る電場は点電荷から放射状の向きである。

つまり、E と t は同じ向きである。( むろん t は経路に接ベクトルである )

つまり、E・t=E ( 電場の強さ ) である。

よく知られているように、電場の強さは次のように表される。(※クーロンの法則)



ただし、s=|r−r|は点電荷からの距離である。

よって、