線積分に対する直観的説明〜数学ver

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定義 ( スカラー場 )

多変数実数値関数を 『 スカラー場 』 という。

例えば、3変数実数値関数はスカラー場である。

つまり、φ(x、y、z)=x+y+z や φ(x、y、z)=1 はスカラー場である。

これは空間の各点にスカラーが対応しているものと見なすことができる。

例えば、温度分布はスカラー場として記述できる。

むろん、位置ベクトル r=(x、y、z) を用いて φ(x、y、z) を φ(r) と表してもよい。

定義 ( ベクトル場 )

n 変数 n 次元ベクトル値関数を 『 ベクトル場 』 という。

例えば、3変数3次元ベクトル値関数はベクトル場である。

つまり、v(x、y、z)=(x、2y、3z) や v(x、y、z)=(1、1、1)はベクトル場である。

これは空間の各点にベクトルが対応しているものと見なすことができる。

例えば、水の流れはベクトル場として記述できる。

むろん、位置ベクトル r=(x、y、z) を用いて v(x、y、z) を v(r) と表してもよい。

定義 ( grad )

φ(x、y、z)を3変数実数値関数とする。

次のように定義する。



このとき、gradφを 『 φの勾配 』 という。

gradφ を ∇φ と表すことも多い。

つまり、gradφ はベクトル場である。

定義 ( ポテンシャル )

(r) をベクトル場とする。

あるスカラー場 φ(r) が存在して、v(r)=−∇φ(r) と表せるとする。

このとき、φ を 『 vのポテンシャル 』 という。

この有用性は後の議論で明らかとなる。

定義 ( 線積分 )

(r)をベクトル場とする。

Γを任意の曲線とする。

曲線 Γ を微小な線分 Δs ( i=1、・・・、N ) に分割する。

曲線Γに対する v(r) の接線成分を v//(r) と表す。

「 v//(r)の大きさ 」 と 「 曲線の線要素Δs 」 を掛け合わせて合計し、分割を細かくして極限をとる。

つまり、



ここで、Δs は、曲線の変位 Δr=ri+1−r として表せる。



すると、先ほどの式は次のように表せる。



これを積分記号で表すと、

定義の式には Γ が含まれていることに注意しよう。

つまり、線積分の値は経路Γに依存する。

ところが、ポテンシャルをもつベクトル場に対しては線積分の値は経路に依存しないことが示される。

以下、これについて議論する。

P1 ( Δφ=∇φ・Δr

φ(r)をスカラー場とする。

このとき、∇φは「φの値が変化しない2点を結ぶ変位」に対して垂直である。

証明

一般に、φの変位Δφは、



よって、Δφ=0 とすると、∇φ・Δr=0 であり、∇φ と Δr は直交する。

P2 ( ∇φの線積分は経路に依存しない )

φ(r)をスカラー場とする。

点 A の位置ベクトルを r とする。

点 B の位置ベクトルを r とする。

このとき、点 A から点 B へ至る任意の曲線Γに対して次が成り立つ。



つまり、ベクトル場 ∇φ の線積分はφの始点と終点の値によってのみ定まる。

つまり、ベクトル場 ∇φ の線積分は経路に依存しない。

補足

つまり、上記の積分を次のように表すことができる。



この表示からは曲線Γが消えていることに注意しよう。

積分値は経路Γに依存しないので表示する必要がなくなったのである。

補足

(r)をポテンシャルをもつベクトル場とする。

つまり、あるスカラー場φが存在して、v=∇φと表せる。

今回の定理より、このベクトル場 v の線積分は経路に依存しない。

つまり、v の線積分はポテンシャルφの始点と終点の値によってのみ定まる。

これと同様のことは物理学でよく知られていることであろう。

実際、物体を移動させるために必要な仕事は始点と終点の位置エネルギーによってのみ決まる。

なぜなら、万有引力や静電気力はポテンシャルをもつからである。

つまり、線積分は物理学の仕事に相当する。

証明

経路Γを N 分割して各点の位置ベクトルを r ( i=1、・・・、N ) とする。

ここで、Δr=ri+1−r とおく。

いま、Δφ=φ(ri+1)−φ(r)=∇φ・Δr と表せる。(※P1の証明)

よって、次のように計算できる。(※定義:線積分)