電気的エネルギー

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参考 ( 概要 )

このページでは次の手順で議論を進める。

(1) 静電エネルギー(点電荷と電荷分布)

(2) 静電エネルギー密度

(3) 上の(1)と(2)の矛盾と整合性

(4) 平行平板コンデンサの静電エネルギーを2通りの方法で示す。

定義 ( 静電エネルギー )

ρ(r)を電荷分布とする。

これらの電荷がすべて無限遠にある状態からρ(r)をつくるために必要な仕事を U とする。

このとき、U を 『 ρ(r)の静電エネルギー 』 という。

P1 ( 点電荷の静電エネルギー )

、・・・、q を n 個の点電荷とする。

その全電荷の静電エネルギーは次のように表される。

補足

φ(r)は点電荷 q を除去した後で残された点電荷が r につくる静電ポテンシャルである。

ij は点電荷 q と q の距離を意味する。

証明

明らかに、全静電エネルギーは、



これを次のように表すことができる。



上式を次のように表すこともできる。

P2 ( 電荷分布の静電エネルギー )

ρ(r)を電荷分布とする。

その全電荷の静電エネルギーは次のように表される。

補足

むろん、積分を実行するときに添字 i は意味をもたない。

つまり、上式を次のように表してもよい。

証明

P1と同様に理解できる。

φ(r)は r の電荷要素を除去した後に残される電荷が r につくる静電ポテンシャルを意味する。

φ(r)の積分は r を除いた空間で実行されることに注意しよう。

このことは後の議論で重要である。

参考 ( 一様に帯電した球 )

半径 R の球に一様に電荷が分布しているとする。

その全電荷を Q とする。

このとき、全電荷エネルギーは、

証明

電荷密度は、



中心から球対称性を保ちながら電荷を付け加えていき、半径 r を 0 から R まで増加させる。

厚さ dr の球殻状電荷を付け加えるための仕事は、



よって、静電エネルギーは、

参考 ( 一様に帯電した球状導体 )

半径 R の導体球に電荷 Q が帯電しているとする。

このとき、静電エネルギーは、

補足

これは議論の本筋から外れるが、参考(一様に帯電した球)と比較するために掲載する。

証明

よく知られているように、導体内部の電荷はつねに 0 である。

よって、導体が帯電すると、電荷は導体表面にのみ分布する。

つまり、電荷の分布は球状ではなく、球殻状である。

半径 R の球対称性を保ちながら、電荷を 0 から Q まで付け加える。

電荷 q が帯電している状態に電荷 dq を加えるための仕事は、



よって、

P3 ( 静電エネルギー密度 )

静電エネルギーを次のように表すことができる。

補足

これは空間の各場所に次のエネルギーが蓄えられていることを示唆する。



これは u=(1/2)ε|E と表せる。

これはバネに蓄えられるエネルギーが (1/2)kx と表されることに似ている。

証明

よく知られているように、∇φ=−ρ/ε である。(※ポアソン方程式)(★1)

一般に、φ∇φ=∇・(φ∇φ)−(∇φ)・(∇φ)である。

また、E=−∇φ である。(※定義:静電ポテンシャル)

よって、φ∇φ=∇・(φ∇φ)−E・E である。(★2)

一般に、ベクトル場 v(r)に対して ∫∇・vdV=∫・ndS である。(※ガウスの定理)(★3)

(★1)〜(★3)より、静電エネルギーは次のように表される。(※P2)



上の計算において ∫dV は全空間の積分を意味する。

また、∫dSは無限に大きな球面の積分を意味する。

よく知られているように、点電荷のポテンシャルφに対し、φは 1/r に比例する。

よって、∇φは 1/r に比例する。

よって、一般に φ∇φは 1/r 以下で減衰する。

( 正負の点電荷が混在する場合は互いに打ち消し合うので 1/r 以下になる )

一方、積分を行う閉曲面の表面積は r に比例して増加する。

よって、(*)右辺の第1項は 0 であるとしてよい。

よって、

参考 ( 静電エネルギー密度と静電エネルギーの矛盾と整合性 )

P3で求めたように、静電エネルギーは、



これによると、1個の点電荷も静電エネルギーをもつ。

一方、一様に帯電した球の静電エネルギーは次のように表せる。(※参考:一様に帯電した球の静電場)



ここで、R→0 とすると、U→∞ となる。

つまり、点電荷は無限の静電エネルギーをもつ。

このことは矛盾に見えるかもしれない。

しかし、そうではない。

既に P2 の証明で注意したように、静電エネルギーの積分では電荷要素の位置は積分領域から除外している。

つまり、点電荷を分割して、それらを無限遠から寄せ集めるということはしない。

つまり、P2 や P3 に基づく結果に極限 R→0 をとると、点電荷自身の相互作用による静電エネルギーが含まれる。

この静電エネルギーは無限大なので取り除かなければならない。

そこで、以下の議論でこれを除去しよう。

P4 ( 一般化された静電エネルギー )

ρ(r)を、点電荷 q、・・・、q を含む電荷分布とする。

つまり、ρ(r)は連続的な分布ρcont(r)と、点電荷の分布ρpoint(r)に分けられる。

このとき、点電荷自身の相互作用を取り除いた静電エネルギーは、

補足

cont(r)は連続的な分布ρcontがつくる電場である。

は点電荷 q がつくる電場である。

補足

ρcont(r)だけの場合は第1項だけが残る。

ρpoint(r)だけの場合は第3項だけが残る。

つまり、今回の P4 は P3 の一般化である。

証明

いま、



よって、



上式において最後の項は点電荷自身による相互作用を意味する。

そこで、これを除外すればよい。

つまり、静電エネルギーは次のように表せる。(※P3)

参考 ( 平行平板のコンデンサ )

面積 S で、極板間隔 d の平行平板コンデンサを考える。

極板に蓄えられている電荷を ±Q とする。

このとき、このコンデンサに蓄えられている静電エネルギーは、

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1

よく知られているように、平行平板コンデンサの電場は E=σ/ε である。

ただし、σ=Q/S は電荷の面密度である。

いま、E=σ/ε=Q/εS である。

また、V=Ed=Qd/εS である。

また、電気容量は C=Q/V=εS/d である。

極板上の電荷 q を 0 から Q へ増加させる。

電荷 q がある状態に電荷 dq を加えるための仕事は (q/C)dq である。(※q/Cは電圧)

よって、

証明〜その2

証明〜その1で確認しているように、C=εS/d である。

よって、次のように計算できる。(※P3またはP4)