正則関数は剛性をもつ

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参考

複素解析には 『 正則関数 』 が登場する。

これは非常に豊かな性質をもっている。

とにかく、正則関数は素晴らしい。

「 複素解析は正則関数の理論である 」 と言ってもよいほどである。

そこで、このページでは正則関数についてまとめておこう。

参考

まず、次の3つは(少し条件を調節すれば)同値である。

(1) 正則性

(2) コーシー・リーマン方程式

(3) 巾級数展開可能

もしかしたら、

「 コーシー・リーマン方程式を忘れてしまった 」

・・・という人がいるかもしれない。

しかし、そもそも、これを覚える必要はない。

なぜなら、コーシー・リーマン方程式は簡単に導けるからである。

実際に導いたみよう。

f:D→ を複素関数とする。

x 軸と y 軸で微分を考えると、



つまり、



実部と虚部を比較すると、u=v であり、v=−u である。

これがコーシー・リーマン方程式である。

参考

正則関数は実に興味深い性質を多くもっている。

複素解析の初歩は、とにかく正則関数の理論がすべてである。

例えば、ある正則関数 F が存在して、F’=f となるならば、∫Γfdz=F(b)−F(a)となる。

( これは線積分である )

とくに、f 自身が正則関数の場合は、つねに∫Γfdz=F(b)−F(a)である。

ここで、

「 何がどういうわけでそうなるのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

この辺りを理解するためには、まず、区分求積法による線積分の定義を確認しておく必要がある。

以下、これを確認してみよう。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f:D→ を連続な複素関数とする。

Γ:[a、b]→D を曲線とする。

Δ={ t、・・・、t } を [a、b] の分割とする。

∈[t、tk+1]とおく。

次のようにおく。



このとき、S(Γ、Δ)を 『 f のΓに沿うリーマン和 』 という。

さらに、次のように定義する。



これを 『 Γに沿う f 線積分 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上式において、右辺のΓ(ti+1)−Γ(t)は複素数の差である。

Γ(ti+1)とΓ(t)を結ぶ線分の長さを表しているわけではないことに注意しよう。

よって、f(Γ(s))(Γ(ti+1)−Γ(t))は、ベクトルΓ(ti+1)−Γ(t)を回転・拡大させたものである。

つまり、S(Γ、Δ)は、関数 f(z)の平均的な挙動を意味する。

よく知られているように、次のベクトルは同じである。

(*1) AD

(*2) AB+BC+CD

つまり、ベクトルは経路に依存しない。

同様に、S(Γ、Δ)も経路に依存しない。

とくに、正則性があると、等角性がある。

よって、無限小での変化が相似写像となる。

関数の値の分布が均質になる。(★)

なので、S(Γ、Δ)の極限である線積分も経路に依存しない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここで、(★)の意味が分からないと疑問に思う人がいるかもしれない。

まず、等角写像の意味を確認しておこう。

等角写像とは、角度を保存する写像である。

とくに、f が点 a で正則ならば、f は点 a で交角を保存する。

このことに注意すると、次のことが言える。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f は正則であるとする。

いま、f(z)−f(a)=f’(a)(z−a)+g(a、z)(z−a)と表せる。

( ただし、limz→ag(a、z)=0 である )

むろん、上式の両辺の絶対値と偏角は等しい。

このことに注目すると、

(*1) |f(z)−f(a)|=|f’(a)+g||z−a|

(*2) arg(f(z)−f(a))=arg(f’(a)+g)+arg(z−a)

f’(a)≠0 とする。

z が a に十分に近い状況を考えると、

(*3) |f(z)−f(a)|≒|f’(a)||z−a|

(*4) arg(f(z)−f(a))≒argf’(a)+arg(z−a)

つまり、絶対値を|f’(a)|倍して、argf’(a)だけ回転させることを意味する。

つまり、f が点 a で微分可能で、f’(a)≠0 ならば、f は無限小の意味で相似変換である。

むろん、f’(a)≠0 というのは、ヤコビ行列式が 0 でないことで、単射を意味する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

つまり、微分可能な点を f で写すと、f の値は均質に分布する。

例えば、f(z)=2z などである。

z に関する1次式の場合は、完全に均質になる。

なので、正則関数の線積分は、経路に依存しない。

歪みが出ない。

とくに、コーシーの積分定理の証明で、無限小の3角形に分割していく方法がある。

無限小で相似変換であるから、無限小の3角形を1周する線積分が 0 になることは道理である。

これによってコーシーの積分定理を証明できる。

ここで、

「 なぜ3角形なのだろう?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

3角形の各辺の中点を、線分で結んでみよう。

1つの3角形が、4つの3角形に分割される。

これを繰り返せば、小さな3角形ができる。

さらに、ここから少し工夫すると、閉曲線に対してコーシーの積分定理が示される。

ここで、

「 コーシーの積分定理にそんな証明あっただろうか?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

コーシーの積分定理は、話をどこまで一般化させるかによって内容が少し変わる。

そこで、次に、コーシーの積分定理を確認しておこう。

復習 ( コーシーの積分定理 )

D を領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

Γを区分的に連続微分可能な単純閉曲線とする。(★1)

Γ⊂D かつ Γint⊂D とする。

f は C 級であるとする。(★2)

このとき、∫Γf(z)dz=0 である。

初級者向けの書物では条件(★1)や(★2)が付いていることが多い。

( あるいは、省略してしまっていて、そもそも書いていない場合もある )

ただし、議論を深めれば、条件(★1)と(★2)を外すことも可能である。

つまり、条件を弱めることができる。

条件が弱いと、それだけ普遍的に定理を使用できるということである。

コーシーの積分定理は、数学全体を見渡しても究極の定理の1つである。

コーシーの積分定理に至るまでの流れは、頭の中に入れておくとよいかもしれない。

コーシーの積分定理の証明には、次の2通りがある。

(1) グリーンの定理→コーシーの積分定理

(2) ホモローグ→コーシーの積分定理

グリーンの定理は、微分積分学の基本定理を平面上に拡張したものである。

ちなみに、ホモローグによる証明は、ホモロジ代数学のような一般論を展開するわけではない。

なので、それほど難しい内容ではない。

さて、ここで、非常に重要なことがある。

それは、結局、コーシーの積分定理で本質的な条件は、関数 f の正則性だけということだ。

ここまでの話で分かるように、正則性という性質は非常に強力である。

次に、コーシーの積分公式を紹介しよう。

復習 ( コーシーの積分公式 )

D を領域とする。

f:D→ を複素関数とする。

Γを区分的に連続微分可能な単純閉曲線とする。

Γ⊂D かつ Γint⊂D とする。

このとき、任意の点 z∈Γint に対し、次が成り立つ。

つまり、円周Γ上での f の値が分かると、Γの内部における f の値も完全に分かる。

非常に重要な定理である。

コーシーの積分公式の後の展開は凄まじい。

それらを列挙すると、

(*1) グルサの公式、モレラの定理

(*2) リウヴィルの定理、代数学の基本定理

(*3) 最大値の定理、シュワルツの補題

(*4) 留数定理

このような重要な定理が次から次へと登場する。

その中でも、とくに印象的なものは 『 最大値の定理 』 かもしれない。

最大値の定理によれば、次が成り立つ。

(*) f が正則関数の場合、|f(z)|が最大値をとる点は境界上だけになる。

正則関数は随分と奇妙な性質をもっているようだ。

ただし、これについては直感的にも分かりやすい説明を付けることができる。

簡略化のため、D は半径1の開円板とする。

ある点 a∈D 上で、f は最大値をとると仮定する。(背理法)

つまり、これを f で写すと、点 a は、他の点よりも、原点から遠いところに写される。

D の内部でこのような点があると、必ず折り目が発生する。



明らかに、このような折り目上では恒等的に、f’(z)=0 となる。

( 折り目を横切るように極限をとると、f’(z)=0 であるから、折り目上では f’(z)=0 となる )

すると、D 全体で f’(z)=0 となる。(※一致の定理)

よって、f は定数ということになり、矛盾する。

だから、一致の定理を使用できる。

正則関数は、異なる点での値が互いに関係している。

つまり、一部を変更すると、それが定義域全体に影響する。

なので、定義域が 全体の場合、一部を変更しただけで値が有界でなくなる。

逆に、関数が有界なのだとしたら、それはその関数が定値関数であることを意味する。

これが 『 リウヴィルの定理 』 である。

ある意味で、これは正則関数が剛直であることを意味する。

なぜこのようなことになっているのだろうか?

やはり、複素平面上での微分可能性が非常に強い条件だからであろう。

多変数の微分法では、特定の方向からの微分を考える。

しかし、複素微分は、方向に関係なく一定の極限をもつという条件である。

この条件が非常に強い。

これが正則関数の 『 剛直性 』 を生み出している。