正則関数の剛性(局所的平坦⇒大域的平坦)

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参考 ( 概要 )

上で定義された微分可能関数の場合、局所的に関数が平坦になることは普通にある。

上で定義された正則関数の場合、そのようなことは起こらない。

もし、正則関数が局所的に平坦ならば、それは正則関数が定値であることを意味する。

これは正則関数の大きな特徴の1つである。

復習 ( テイラー展開 )

f:D→ を正則関数とする。

a∈D とおく。

r>0 を実数とし、S(a、r)⊂D であるとする。( S(a、r)は開円板|z−a|<r を意味する)

このとき、



ただし、

復習 ( 正則関数は無限回微分可能である )

f:D→ を複素関数とし、これは D 上で微分可能であるとする。

このとき、f は D 上で無限回微分可能である。

これは 『 グルサの定理 』 の一部である。

復習 ( 開集合 )

U を の部分集合とする。

任意の点 x∈U に対し、ある ε>0 が存在して S(x、ε)⊂U となるとする。

このとき、Uを 『 開集合 』 という。

つまり、開集合は境界をもたない集合である。

参考 ( 領域 )

開集合 U は2つ以上の開集合に分割されないとする。

このとき、「 Uは連結である 」 という。

このように1つにつながった開集合 U を 『 領域 』 という。

むろん、開円板|z−a|<R は領域である。

復習 ( 点で≠0⇒近傍上で≠0 )

f:D→ を複素関数とする。

f は D 上で連続であるとする。

ある点 a∈D で f(a)≠0 であるとする。

このとき、ある ε>0 が存在して S(a、ε) 上で f≠0 となる。

つまり、連続関数 f が点 a で f(a)≠0 ならば、その近傍上で f≠0 である。

このことは微分積分学などで基本的である。

実関数の場合、点 a で f(a)>0 ならば a の近傍上で f>0 である。



むろん、点 a で f(a)<0 ならば a の近傍上で f<0 である。

P* ( 局所的平坦⇒大域的平坦 )

f:D→ を正則関数とする。

Dは領域であるとする。

ある点 a∈D で f(n)(a)=0 ( n=0、1、2、・・・ ) であるとする。

このとき、D上で f=0 である。( つまり f は D 上で恒等的に 0 である )

補足

この意味で複素関数は剛性をもつ。

証明

V={ z∈D : f(n)(z)=0 (n=0、1、2、・・・) } とおく。

つまり、集合 V は f(n)(z)=0 を満たす点 z∈D 全体である。

D−V は空集合でないとする。(背理法)

ζ∈D−V とおく。

いま、ある自然数 n に対して f(n)(ζ)≠0 である。

よって、ある ε>0 が存在して S(ζ、ε)上で f(n)≠0 である。(※復習:点で≠0⇒近傍上で≠0)

よって、S(ζ、ε)⊂D−V である。(※Vの定め方)

よって、D−V は開集合である。(※定義:開集合)(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ζ∈V とおく。

いま、f(n)(ζ)=0 ( n=0、1、2、・・・ ) である。

よって、S(ζ、ε)上で f(z)=0 である。(※復習:テイラー展開)

よって、S(ζ、ε)上で f(n)(z)=0 である。(※復習:テイラー展開)

よって、S(ζ、ε)⊂V である。

よって、V は開集合である。(※定義:開集合)(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)と(★2)は D を分割する2つの開集合である。

これは D の連結性に矛盾する。

つまり、D−Vは空集合である。

むろん、Vは D の部分集合である。(※Vの定め方)

よって、V=Dである。