「パウリ行列、四元数」の関係

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参考 ( 概要 )

パウリ行列と四元数が同じ数学的構造をもつことを確認する。

パウリ行列はSO(3)とSU(2)を読み替える翻訳機である。

このパウリ行列と四元数は同じ数学的構造をもつ。

定義 ( 四元数 )

=(x、x、x) を空間座標とする。

次のように定義する。



このとき、p を 『 四元数 』 という。

明らかに、ij=−ji であり、ijk=−1 である。

実際、ij+ji=ij+(ki)i=k+(−k)=0 である。

また、ijk=ii=−1である。

ij=−ji のような性質を 『 交代性(反対称性)』 という。

四元数は複素数の拡張である。

定義 ( パウリ行列 )

次のように定義する。



これらを 『 パウリ行列 』 という。

パウリ行列を用いると、空間座標を複素2次行列で表示できる。



明らかに、この複素行列 X は次を満たす。



とくに、第1式を 『 エルミート性 』 という。

ゆえに、トレース 0 のエルミート行列は、空間回転、量子力学、表現論などの分野で有用である。

P1 ( パウリ行列は複素2次行列から成る4次元ベクトル空間の基底である )

σ を単位行列とする。

このとき、{σ、σ、σ、σ}は1次独立である。

補足

つまり、パウリ行列(に単位行列を追加したもの)は 「 複素2次行列から成る4次元ベクトル空間 」 の基底である。

補足

むろん、自然な基底として次を採用できる。

証明

aσ+bσ+cσ+dσ=0 とおく。

いま、



よって、a+d=0、b−ci=0、b+ci=0、a−d=0 である。

よって、a=0、b=0、c=0、d=0 である。

つまり、{σ、σ、σ、σ}は1次独立である。

P2 ( 四元数と複素2次行列は自然に対応する )

次の置き換える。





このとき、四元数と複素2次行列は自然に対応する。

補足

むろん、(1)や(2)以外にも定理を満たす置き換えはある。

(1)の証明

パウリ行列が 「 複素2次行列から成る4次元ベクトル空間 」 の基底であることは示した。(※P1)

また、

(2)の証明

(1)と同様である。

実際、