四元数の相似変換=SO(3)表現=ロドリゲスの回転公式

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参考 ( 概要 )

軸まわりの回転を表す方法として次がある。

(1) 四元数の相似変換

(2) SO(3)表現

(3) ロドリゲスの回転公式

定義 ( 四元数 )

=(x、x、x) を空間座標とする。

次のように定義する。



このとき、p を 『 四元数 』 という。

明らかに、ij=−ji であり、ijk=−1 である。

実際、ij+ji=ij+(ki)i=k+(−k)=0 である。

また、ijk=ii=−1である。

ij=−ji のような性質を 『 交代性(反対称性)』 という。

四元数は複素数の拡張である。

定義 ( 四元数の実部と虚部 )

x=x+x ( x=xi+xj+xk ) を四元数とする。

を 『 x の実部 』 という。

を 『 x の虚部 』 という。

以下 x の実部を R(x) と表し、虚部を S(x) と表す。

定義 ( 四元数の内積と外積 )

v=vi+vj+vk、w=wi+wj+wk を四元数とする。

つまり、v と w は実部をもたない四元数である。

次のように定義する。





このとき、(x、y)を 『 x と y の内積(スカラー積)』 という。

また、[x、y]を 『 x と y の外積(ベクトル積)』 という。

x と y を一般の四元数とする。

x の虚部 x をベクトル x と同一視できる。

y の虚部 y をベクトル y と同一視できる。

いま、(x、y)=x・y である。

また、[x、y]=x×y である。

つまり、四元数の議論を部分的にベクトルの理論に置き換えることができる。

定義 ( 四元数の逆元 )

x を四元数とする。

ある四元数 y が存在して、xy=1 となるとする。

このとき、y を x−1 と表す。

この x−1 を 『 y の逆元 』 という。

P1 ( 四元数の積 )

x=x+x、y=y+y を四元数とする。

このとき、

補足

つまり、xy の実部は x−(x、y)である。

また、xy の虚部は x+y+[x、y] である。

また、「 実部をもたない四元数 」 の積は実部をもつ。

また、例えば、「 kの項をもたない四元数 」 の積は k をもつ。

補足

(1)より、x=−(x、y)+[x、y] である。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

xx=|x| の両辺を|x| で割ると、xx/|x|=1 である。

これは x−1=x/|x| を意味する。

(4)の証明

(1)より、次のように計算できる。



上式において x と y を置き換えると、実部の符合は不変であり、虚部の符合は反転する。

よって、(x=y である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

よって、

(5)の証明

(4)より明らかである。

P2 ( 四元数の相似変換 )

p、q を四元数とする。



(1)の証明

p=p+pi+pj+pk とおく。

q=q+qi+qj+qk とおく。

次のように計算できる。





(2)の証明

(1)において q → −q とすればよい。

P3 ( Re(qvq)=0 )

v を実部をもたない四元数とする。

q を単位四元数とする。( つまり、|q|=1 である )

このとき、Re(qvq)=0 である。

証明〜その1

明らかである。(※P2)

証明〜その2 ( 直接的な証明 )

次のようにおく。



いま、



よって、



よって、



よって、

P4 ( 四元数による鏡映変換 )

r’ を、r を鏡面σに関して反転させたベクトルとする。

を鏡面σの単位法線ベクトルとする。

r=0+r、n=0+n を四元数とする。

このとき、r’=r−2(n・r)n=nrn である。

証明

いま、





また、nr=−n・r+n×r である。(※P1)

s=nr=s+s=−n・r+n×r とおく。

次のように計算できる。

P5 ( 四元数による空間回転 )

v を虚部のみをもつ四元数とする。

q を単位四元数とする。

このとき、v’=qvq(=qvq−1) は空間回転を意味する。

とくに、回転軸の方向余弦を n=(n、n、n)とし、回転角をθとすると、

補足

(*)に示される q は単位四元数であることに注意。

証明〜その1

{ e、e、e } を自然基底とする。

四元数の組 { i、j、k } を { e、e、e } と同一視する。

θ=π/2 の場合について考える。

いま、



これは 「 回転軸を e(=j) として e(=k) を e(=i) に回転させた 」 を意味する。



むろん、変換 v’=qvq はベクトルの長さを変えない。

実際、|v’|=vv=(qvq)(qvq=qvq・qv=qvv=|v| である。(※P1)

証明〜その2

空間回転は2回の鏡映変換によって実現できる。

実際にベクトル r のθ回転を2回の鏡映変換によって実現してみよう。

r’ を、rを面σに関して反転したベクトルとする。

τを、面σを θ/2 だけ回転させた面とする。

r’’ を、r’ を鏡面τに関して反転させたベクトルとする。

この r’’ は r をθだけ回転させたものである。(※下図)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

を、面σの単位法線ベクトルとする。

を、面τの単位法線ベクトルとする。

n=0+n、u=0+u を四元数とする。

r=0+r、r’=0+r’、r’’=0+r’’ を四元数とする。

いま、r’=nrn、r’’=ur’u である。(※P4)

よって、r’’=nr’u=u(nrn)u=(un)r(nu)=(−un)r(−nu) である。

また、un=−n・u−n×u である。(※P1)

また、nu=−n・u+n×u である。(※P1)

よって、r’’=(−un)r(−nu)=(−un)r(−un) である。(※P1(5)を用いてもよい)

一方、−un=cos(θ/2)+sin(θ/2)n×u/|n×u|である。

( ただし、θは n と u が成す角である )

つまり、q=−un は単位四元数であり、r’’=qrq である。

P6 ( ロドリゲスの回転公式 )

を単位ベクトルとする。

点 P’を、点 P を n まわりでθだけ回転させた点とする。

このとき、



ただし、(1)〜(3)は互いに同値である。

補足

(3)の証明は2通り用意した。

(1)の証明

図示すると、



// を、p の n に平行な成分とする。

を、p の n に垂直な成分とする。

いま、p=p//+p である。(★1)

また、p’=p’//+p’ である。(★2)

いま、p//=p’// である。(★3)

よって、p’//=p−p である。(★4)

p’ の p への正射影は cosθp である。

p’ の n×p への正射影は sinθn×p である。

よって、p’=cosθp+sinθ(n×p)である。(★5)

(★2)に、(★4)と(★5)を代入すると、p’=p−(1−cosθ)p+sinθ(n×p)である。(★6)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、n×p=n×(p//+p)=n×p//+n×p=n×p である。(★7)

一般に、a×(b×c)=(a、c)b−(a、b)c である。(※ベクトル解析の公式)

よって、(★7)より、n×(n×p)=n×(n×p)=(n、p)n−(n、n)p=−p である。

つまり、p=−n×(n×p)である。(★8)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★6)に、(★7)と(★8)を代入すると、p’=p+(1−cosθ)(n×(n×p))+sinθ(n×p) である。

(2)と(3)の証明

明らかに、p//=(n、p)n である。

一方、(1)の証明(★8)で確認したように、p=−n×(n×p)である。

つまり、p=(n、p)n−n×(n×p)である。

これにより、(1)から(2)や(3)を得る。

(3)の別証明 ( 四元数を用いる方法 )

p=pi+pj+pk を四元数とする。

q=cosφ+sinφ(ni+nj+nk)を単位四元数とする。

つまり、|q|=1 である。

つまり、n+n+n=1 である。

いま、R(p)=0、S(p)=pi+pj+pk である。

また、R(q)=cosφ、S(q)=sinφS(n) である。

ただし、n=ni+nj+nk である。

すると、qpq−1=cos2φS(p)+sin2φ(S(n)×S(p))+(1−cos2φ)(S(n)、S(p))S(n)である。(※P2)

ここで、θ=2φ、p=S(p)、n=S(n) とおく。

すると、qpq−1=cosθp+sinθ(n×p)+(1−cosθ)(n、p)n である。

P7 ( 四元数による空間回転をSO(3)で表現する )

v=0+v を四元数とする。

q を単位四元数とする。

つまり、次のように表せる。



このとき、v’=qvq−1(=qvq)はSO(3)行列による直交変換である。

そのSO(3)行列は次のように表される。

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1 ( 四元数から直接的に示す方法 )

次のようにおく。





いま、



よって、



よって、次のように計算できる。(※P3)



よって、



(*1)〜(*3)より、



次のようにおく。





いま、次のように計算できる。(※n+n+n=1,cosθ+sinθ=1)



( 上記の計算は少し面倒だが、地道に計算すれば出る )

また、





つまり、



つまり、T は直交行列である。

証明〜その2 ( ロドリゲスの回転公式を書き換える方法 )

いま、





つまり、A は外積の行列表現である。

また、P は射影の行列表現である。

次のように計算できる。(※P6(3))