質点系と剛体はセットで

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参考 ( 質点系と剛体はセットで )

よく知られているように、力学では 『 質点 』 を議論する。

質点は大きさをもたない。

よって、

「 これでは現実の問題に応用できないのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、問題はない。

まず、複数個の質点を考え、これらの位置関係を固定する。

ただし、固定するのは質点の(互いの)位置関係であって、位置ではないことに注意しよう。

そうすれば、これは大きさをもつ物体と見なさせる。

むろん、質点の位置関係は固定しているので、この物体は変形しない。

複数個の質点全体を 『 質点系 』 といい、形が変化しない物体を 『 剛体 』 という。

つまり、剛体とは、質点系における質点の位置関係を固定したものであると見なせる。

ちなみに、『 連続体力学 』 では、形が変化する物体も議論の対象となる。

連続体としては 『 弾性体 』 と 『 流体 』 がある。

これらの内容は、材料力学・機械工学・建築学において有用である。

ちなみに、連続体力学においては 『 歪みテンソル 』 や 『 応力テンソル 』 が有用である。

注意

以下、質点系を構成する各質点には番号 i が付いているとする。

i 番目の質点の質量を m と表し、位置ベクトルを r と表す。

注意 ( 内力、外力 )

質点系において、質点が他の質点に及ぼす力を 『 内力 』 という。

一方、外から質点に作用する力を 『 外力 』 という。

注意

以下、微分を表すときには 「 」 を用いる。

例えば、r は速度を意味し、r・・ は加速度を意味する。

この表記は力学や解析力学でよく用いられる。

一方、「 ’ 」 は相対的な量を表すときによく用いられる。( 詳しくは以下で扱う )

「 ’ 」 と 「 」 の区別は少し面倒だが、この表記は有用である。

定義 ( 質点系の重心 )

N 個の質点から成る質点系を考える。

M を質点系の全質量とする。

つまり、M=1≦i≦N である。

このとき、r=M−11≦i≦N を 『 質点系の重心 』 という。

以下、1≦i≦N と表してよいとする。

現場では と表されることが多いので、慣れておいた方がよい。

P1

’を重心に対する相対的な位置ベクトルとする。

つまり、r’=r−r である。

このとき、’=0 である。

証明

次のように計算できる。(※定義:質点系の重心)

(*) ’=(r−r)=−Mr=0

P2

(1) (質点系の)重心を基点とした全運動量は 0 である。

(2) (質点系の)内力によるモーメントの和は 0 である。

(1)の証明

いま、’=0 である。(※P1)

よって、(r’)=0 である。

(2)の証明

ki を、質点 k が質点 i に及ぼす力とする。

いま、×Fki×Fik である。(※単なる番号の付け替えである)

また、Fki=−Fik である。(※作用・反作用の法則)

よって、次のように計算できる。

(*) ×Fki=(1/2)(r×Fki+r×Fik)=(1/2)(r−r)Fki=0

P3 ( 質点系の運動方程式 )

F を外力の合力とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F=・・

(2) F=Mr・・

(3) P=Mr

補足

とくに、式に内力が現れていないことが重要である。

(1)の証明

を、質点 i に作用する外力とする。

ki を、質点 k が質点 i に及ぼす力とする。

いま、F= である。(★1)

また、Fki=−Fik である。(★2)

また、Fii=0 である。(★3)

いま、m・・=Fki である。( つまり、質点 i の運動方程式 )

よって、・・ki である。(★4)

いま、(★2)、(★3)より、kii<kkik>ikii<kkik>iik=0 である。

よって、(★1)、(★4)より、m・・=F+0=F である。

(2)の証明

’=r−r を、重心に対する相対的位置ベクトルとする。

よって、(1)より、F=(r’+r・・(r’)・・・・(r’)・・+Mr・・ である。

一方、’=0 である。(※P1)

よって、(r’)・・=0 である。

よって、F=Mr・・ である。

(3)の証明

いま、Mr である。(※定義:質点系の重心)

微分すると、Mr’=P である。

P4 ( 運動エネルギー=「重心の運動エネルギー+相対的運動エネルギー」 )

K を、質点系の全運動エネルギーとする。

K’ を、質点系の(重心に対する)全相対的運動エネルギー全体とする。

を、重心の運動エネルギーとする。( むろん、全質量が重心に集中していると考える )

このとき、K=K+K’ である。

証明

’=r−r を、質点 i の(重心に対する)相対的位置ベクトルとする。

いま、次のように計算できる。(※P1)

P5

L を、質点系の全角運動量をする。( 外力と内力の両方を考慮する )

N を、質点系の(外力による)全モーメントとする。

このとき、dL/dt=N である。

証明

を、質点 i に作用する外力とする。

ki を、質点 k が質点 i に及ぼす力とする。

いま、m・・=Fki である。( つまり、質点 i の運動方程式である )

上式の両辺に r を ( ベクトル積として ) 左から掛け、和をとる。

すると、×m・・×F×Fki である。(★1)

一方、(r×m=r×m+r×m・・=r×m・・ である。(★2)

よって、(★1)、(★2)より、次のように計算できる。(※P2(2))

(*) dL/dt=(r×m×m・・×F+0=N

P6 ( 角運動量=「重心の角運動量+相対的角運動量」 )

L を、原点 O まわりの全角運動量とする。

L’ を、重心 G まわりの全角運動量とする。

を、重心の角運動量とする。( むろん、全質量が重心に集中していると考える )

このとき、L=L+L’ である。

証明

次のように計算できる。(※P1、P2)

P7 ( モーメント=「 重心のモーメント+相対的モーメント 」 )

N を、原点 O まわりのモーメントとする。

N’ を、重心 G まわりのモーメントとする。

を、重心のモーメントとする。( むろん、全質量が重心に集中していると考える )

このとき、N=N+N’ である。

補足

むろん、N=r×F であり、N’=’×F である。

証明

次のように計算できる。

(*) N=×F(r+r’)×F=r×F+’×F=N+N’

P8

次が成り立つ。

(1) dL/dt=N

(2) dL’/dt=N’

補足

既に示したように、dL/dt=N である。(※P4)

今回の定理は、これを分離できることを意味する。

(1)と(2)の証明

いま、dL/dt=N である。(※P4)

また、L=L+L’ である。(※P6)

また、N=N+N’ である。(※P7)

よって、dL/dt+dL’/dt=N+N’ である。

一方、dL/dt=(r×Mr=r+Mr+r×Mr・・=0+r×F=N である。

よって、dL’/dt=N’ である。

参考 ( さぁ、剛体の運動へ )

ここまで、主に質点系について述べてきた。

以下、剛体の運動を扱う。

むろん、以下の議論では、上で示した質点系に関する結論が役立つ。

注意 ( 質点の自由度 )

1つの質点の位置は座標 (x、y、z) で定まる。

座標が t の関数として表されるとする。

このとき、「 その運動の自由度は 3 である 」 という。

質点系において N 個の質点が独立に動く場合、その自由度は 3N である。

注意 ( 剛体の自由度 )

剛体の自由度は 6 である。

まず、剛体は並進運動(重心の運動)について自由度 3 をもつ。

また、剛体は回転運動の自由度をもつ。

回転運動を定めるには、3つの角度を必要とする。(※下図)

よって、剛体の自由度は 3+3=6 である。

定義 ( 慣性モーメント )

I= を 『 慣性モーメント 』 という。

P9 ( 剛体の運動方程式 )

、F、・・・ を剛体に作用する力とする。

、r、・・・ を、その作用点の位置ベクトルとする。

このとき、重心の運動方程式は Mr・・ と表される。

また、角運動量の方程式は、dL/dt=×F である。

証明

明らかである。

P10 ( 剛体のつり合い )

剛体に作用する合力が 0 であるとする。

さらに、ある点 O まわりの力のモーメントの和が 0 であるとする。

このとき、任意の点まわりの力のモーメントの和も 0 である。

補足

つまり、剛体が静止する条件は次の(1)と(2)によって与えられる。

(1) 剛体に作用する合力が 0 である。

(2) 「 ある点 」 まわりの力のモーメントの和が 0 である。

つまり、(1)は並進運動に関する静止条件であり、(2)は回転運動に関する静止条件である。

とくに、(2)の 「 ある点 」 はどこでもよいことに注目しよう。

実際、ある点で(2)が成り立てば、他の点でも成り立つことが今回の定理によって保障される。

これは実際に問題を解くときにも有用である。

例えば、剛体のつり合いを示すとき、モーメントの基点をうまく選べば、問題が簡単に解ける。

このことは高校物理で経験的によく知られている。

高校生はモーメントの基点を任意に選び、そのまわりのモーメントを計算して式を立てる。

この 「 基点を任意に選ぶこと 」 の正当性が、今回の定理によって示される。

証明

いま、剛体に作用する力は 0 である。

つまり、=0 である。(★1)

いま、ある点まわりのモーメントの和は 0 である。

つまり、×F=0 である。(★2)

ただし、r は F の作用点の位置ベクトルである。

ここで、点 P を任意に選ぶ。

点 P から O へのベクトルを r=OP と表す。

点 P まわりのモーメントの和を N と表す。

いま、(★1)、(★2)より、

(*) N(r+r)×F×F×F=r×()+×F=0

P11 ( 回転の運動方程式 )

z軸まわりに回転する剛体を考える。

ω を、剛体の z 軸まわりの角速度とする。

N を、剛体の z 軸まわりのモーメントとする。

L を、剛体の z 軸まわりの角運動量とする。

K を、剛体の運動エネルギー(回転エネルギー)とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) N=Idω/dt

(2) L=Iω

(3) K=(1/2)Iω

補足

(1) は F=mα に相当する式である。

(2) は p=mv に相当する式である。

(3) は k=(1/2)mv に相当する式である。

(1)の証明

いま、各質点 i の角速度は同一で、ωである。

よって、各質点の速さは v=rωである。

よって、L=r・mω=mω である。

一方、dL/dt=N である。

よって、mdω/dt=N である。

上式の両辺について和をとると、Idω/dt=N である。

(2)の証明

いま、dL/dt=N である。

よって、(1)より、L=Iω である。

(3)の証明

次のように計算できる。

(*) K=(1/2)m(1/2)m(rω)=(1/2)Iω

P12 ( 平行軸の定理 )

g を、任意の軸とする。

を、剛体の重心 G を通り、g に平行な軸とする。

I を、g 軸まわりの慣性モーメントとする。

を、g 軸まわりの慣性モーメントとする。

h を、g と g の距離とする。

このとき、I=I+Mh である。

証明

g を z 軸として採用する。

z 軸を紙面に対して垂直にとる。

x 軸と y 軸を紙面に沿ってとる。

を z’軸として採用する。

x’軸を、x軸に平行にとる。

y’軸を、y軸に平行にとる。

ここまでの内容を図示すると、



質点 i の (x、y) 座標系での位置を (x、y) とする。

いま、I=(x+y) である。

質点 i の (x’、y’) 座標系での位置を (x’、y’) とする。

また、(x、y)座標系での G の位置を (x、y) とする。

むろん、G は (x’、y’) 座標系の原点である。

いま、x=x+x’、y=y+y’である。

よって、次のように計算できる。(※P1)

P13 ( 直交軸の定理 )

剛体として薄い板を考える。

板に沿って直交座標 (x、y) をとる。( つまり、板に描くようにして直交座標をとる )

板に垂直に z 軸をとる。

、I、I を、x軸、y軸、z軸まわりの板の慣性モーメントとする。

このとき、I=I+I である。

証明

質点 i の位置を (x、y、0) とする。

いま、I、I である。

また、I(x+y) である。

よって、I=I+I である。