SO(3)の生成子(オイラー角)

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) 3次元回転

(2) オイラー角

(3) SO(3)の生成子

(4) SO(3)のカシミヤ演算子

(5) 角運動量演算子

とくに、(4)〜(6)の議論では 『 交換関係 』 が重要である。

(6)は量子力学の基礎である。

定義 ( 直交行列 )

−1A を満たす行列を 『 直交行列 』 という。

n次直交行列全体は群である。

この群を 『 直交群 』 といい、O(n)と表す。 O は orthogonal (直交性) に由来する。

行列式が+1 となる n 次直交行列全体は群である。

この群を 『 特殊直交群 』 といい、SO(n)と表す。 この S は special (特別) に由来する。

定義 ( エルミート行列 )

=A を満たす行列 A を 『 エルミート行列 』 という。

=−A を満たす行列 A を 『 反エルミート行列 』 という。

定義 ( 第 i 軸まわりの回転 )

第 i 軸まわりの回転を T(θ) と表す。

つまり、

例えば、ベクトル x を第3軸まわりで反時計まわりに回転させたものを x’とすると、

定義 ( 3次元回転 )

3次元回転は原点を通る固定軸に関して回転させることを意味する。

定義 ( オイラー角 )

任意の3次元回転は 「 第1軸まわりの回転 」 と 「 第3軸まわりの回転 」 のみを組み合わせることで実現できる。

T を3次元回転行列とする。

第3軸方向の単位ベクトル e を回転して Te を考える。

この Te を軸まわりの回転で表してみよう。

まず、Te を第3軸まわりに回転して第(2-3)平面内に写す。

その回転角度をψ(0≦ψ≦2π)とすると、e’=T(−ψ)Te である。

次に、e’を第1軸まわりで回転させて e へ写する。

その回転角度をθ(0≦θ≦π)とすると、e=T(−θ)T(−ψ)Te である。

( ここで、0≦θ≦πを仮定したが、明らかに、これはつねに可能である )

上式の両辺を比較して T(−θ)T(−ψ)T=I を結論することはできない。

なぜなら、e は第3軸まわりの回転で不変だからである。
>
その回転角度をφ(0≦φ≦2π)とすると、T(−θ)T(−ψ)T=T(φ)である。

以上により、3次元回転行列は T=T(ψ、θ、φ)=T(ψ)T(θ)T(φ)で表せる。

この角度(ψ、θ、φ)を 『 オイラー角 』 という。

上では 『 ベクトル 』 を回転させることでオイラー角を説明した。

次に、視点を変えて 『 座標系 』 を回転させることでオイラー角を説明する。

まず、座標系 O を考える。

座標系 O における点 P の座標(位置ベクトル)を x=(x、x、x)とする。

次に、座標系 O を第3軸まわりで反時計まわりに角度φだけ回転させて座標系 O’をつくる。

座標系 O’における点 P のz表を x’=(x’、x’、x’)とする。

いま、x’=T(φ)x である。

次に、座標系 O’を第1’軸まわりで反時計まわりに角度θだけ回転させて座標系 O’’をつくる。

座標系 O’’における点 P の座標を x’’とする。

いま、x’’=T(θ)T(φ)x である。

次に、座標系 O’’を第3’’軸まわりで反時計回りに角度ψだけ回転させてt座標系 O’’’をつくる。

座標系 O’’’における点 P の座標を x’’’とする。

いま、x’’’=T(ψ)T(θ)T(φ)x である。

つまり、T=T(ψ、θ、φ)=T(ψ)T(θ)T(φ)である。

これはθとφで座標系 O における回転軸(第3’’軸)を定め、そのまわりで角度ψだけ回転させたことを意味する。

P1

3次元回転行列は SO(3) 行列である。

補足

また、任意のSO(3)行列は3次元回転行列である。

このことは 「 3次元回転が内積を保存する変換であること 」 に注意すれば分かる。

実際、x’=Tx、y’=Ty とすると、

証明

3次元回転行列 T について次のように計算できる。(※定義:オイラー角)



定義 ( 交換子 )

[A、B]=AB−BA と定義する。

このとき、[・、・] を 『 交換子 』 という。

[A、B]=O であるとき、「 A と B は可換である 」 という。

注意 ( 交代記号(エディントンのイプシロン) )

εijk が次の(1)〜(3)を満たすとする。

(1) 指標(i、j、k)が(1、2、3)の偶置換である場合は εijk=+1 である。

(2) 指標(i、j、k)が(1、2、3)の奇置換である場合は εijk=−1 である。

(3) 指標(i、j、k)が同じ指標を2つ以上もつ場合は εijk=0 である。

このとき、εijk を 『 交代テンソル 』 という。

つまり、ε123=ε231=ε312=1であり、ε132=ε321=ε213=−1である。

また、上記以外の場合は εijk=0 である。

P2 ( SO(3)の生成子 )

次のように定義する。







このとき、









補足

(1)や(2)は { J、J、J } が 『 SO(3)の生成子 』 であることを意味する。

(3)は { J、J、J } の交換関係である。

(4)は J が任意の生成子と可換であることを意味する。

(5)は量子力学の角運動量演算子の交換関係に相当する。(もう少し詳しいことは次の定理で後述)

(1)の証明

いま、







よって、次のように計算できる。(※テイラー展開)

(2)の証明

(1)より明らかである。

(3)の証明

明らかである。(実際に計算すればよい)

(4)の証明

いま、



よって、



つまり、J は単位行列のスカラー倍である。

よって、明らかに、J は J と可換である。

(5)の証明

(3)より、明らかである。

P3 ( 角運動量演算子の交換関係 )

{ J、J、J } を SO(3) の生成子とする。

次のように定義する。



いま、あるユニタリ行列 U が存在して UU は対角行列となる。(★)

ここで、次のように定義する。



すると、

補足

これは量子力学における角運動量演算子の交換関係である。

補足

具体的に L を書くと、



明らかに、L はトレース 0 のエルミート行列である。

(★)の証明

の固有方程式は det(L−λI)=0 である。

つまり、λ(λ−1)=0 である。

つまり、固有値は λ=0、±1 である。

固有値 0 に付く固有ベクトルとして次を採用できる。



固有値 ±1 に付く固有ベクトルとして次を採用できる。



次のようにおく。



すると、

証明

上で得た U を用いて計算すると、



いま、



一方、次のように計算できる。(※P2)



よって、次が成り立つ。(※P2)