相反定理(相互インダクタンス)→磁気的エネルギー

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復習 ( ポアソン方程式〜ベクトルポテンシャルver )

静磁場のマクスウェル方程式を仮定すると、あるベクトル場 A が存在して次を満たす。



逆に、(1)〜(3)を満たすベクトル場 A が存在すれば、静磁場のマクスウェル方程式が満たされる。

補足

(3)を 『(ベクトルポテンシャルの)ポアソン方程式 』 という。

一方、∇φ=−ρ/ε を 『(スカラーポテンシャルの)ポアソン方程式 』 という。

実際、これらの式は同じ形をしていることが分かる。

スカラーポテンシャルのポアソン方程式の場合、電荷密度ρから静電ポテンシャルφを求めることができる。

ベクトルポテンシャルのポアソン方程式の場合、電流密度 j からクーロンゲージ A を求めることができる。

補足

(3)の解は次のように表される。



このことはポアソン方程式 ∇φ=−ρ/ε の解が次のように表されることから分かる。



つまり、(*2)のρを j/c に置き換えればよい。

補足

(*1)より、位置 r’ の微小体積 ΔV’にある電流密度 j(r’) が r につくるベクトルポテンシャルは、



ただし、Δsは電流の向きに沿う微小線分ベクトルである。

また、I は電流の大きさを意味する。

復習 ( ビオ-サヴァールの法則 )

静電場のマクスウェル方程式の一般解は次のように表される。

補足

つまり、位置 r’ の微小体積 ΔV’にある電流密度 j(r’)が位置 r につくる磁場は、



ただし、Δs は電流の向きに沿う微小線分ベクトルである。

磁場の向きを図示すると、

復習 ( ガウスの発散定理 )

(r)をベクトル場とする。

S を閉曲面とする。

(r)を S の法ベクトル場とする。

このとき、

復習 ( ストークスの定理 )

(r)をベクトル場とする。

C を閉曲線とする。

S を C を縁としてもつ曲面とする。

このとき、

復習 ( ファラデーの法則 )

マクスウェル方程式より、



一般に、単位電荷が受ける力を経路に沿って線積分した値を 『 起電力 』 という。

つまり、起電力は単位電荷が経路に沿って移動するときに成される仕事である。

とくに、今回のような場合は V を 『 誘導起電力 』 という。

上式の左辺は(静電場における)誘導起電力である。

誘導起電力を V と表し、閉経路を貫く磁束を Φ と表す。

つまり、V=∫・dr であり、Φ=∫・ndS である。

すると、上式は次のように表される。



これを 『 ファラデーの法則(電磁誘導の法則)』 という。

定義 ( 自己インダクタンス )

閉回路に生じる誘導起電力を V と表す。

閉回路を貫く磁束をΦと表す。

いま、V=−dΦ/dt と表される。(※ファラデーの法則)



この磁束Φとしては次の2通りに分けられる。

(1) 閉回路を流れる電流 I によって生じる磁場

(2) 外部の要因によって生じる磁場

ここでは(1)の場合を考える。

よく知られているように、この場合の磁場は I に比例する。

よって、Φ=LI と表すことができる。

このとき、Lを 『 自己インダクタンス 』 という。

むろん、ファラデーの法則は V=−LdI/dt と表せる。

とくに、この場合の V を 『 逆起電力 』 という。

上では単純な閉回路に注目して定義した。

ただし、この定義はそれ以外の閉回路にも適用できる。

例えば、下図のように2つのループを考える。



ループ1を貫く磁束は Φ であるとする。

ループ2を貫く磁束は Φ であるとする。

すると、ループ全体を貫く磁束は Φ=Φ+Φ である。

同様に、N巻きのループでは Φ=Φ+・・・+Φ となる。

参考 ( ソレノイドの自己インダクタンス )

断面積 S、長さ a、単位長さあたり n 巻きのソレノイドを考える。

長さ a は十分大であるとする。

このとき、このコイルの自己インダクタンスは、

補足

一般に、cεμ=1 であることに注意。

証明

よく知られているように、ソレノイド内部の磁場は、B=nI/(ε)である。

よって、

定義 ( 相互インダクタンス )

近接したコイル1と2に、それぞれ電流 I と I を流す。

いま、コイル1には 「 コイル1によって生じる磁場 」 と 「 コイル2によって生じる磁場 」 が影響する。

よって、コイル1の磁束は Φ=L+M12 と表せる。

同様に、コイル2の磁束は Φ=L+M21 と表せる。

つまり、L と L は自己インダクタンスである。

一方、M12 と M21 を 『 相互インダクタンス 』 という。

P1 ( 相互インダクタンスの相反定理 )

n個のコイル 1、・・・、n を考える。

一般にコイル i と j の相互インダクタンス Mij と Mji は等しい。

証明

コイル i の導線上の位置を示す位置ベクトルを r と表す。

コイル j が i につくるベクトルポテンシャルを Aij(r)と表す。

いま、Aij(r)は次のように表される。(※復習(ポアソン方程式〜ベクトルポテンシャルver)の補足)



ここで、コイル j によるコイル i への磁束の寄与を Φij と表す。

これは次のように計算される。(※復習(ポアソン方程式〜ベクトルポテンシャルver)、ストークスの定理)



よって、

参考 ( ソレノイドの相互インダクタンス )

ソレノイド1と2が重ねて巻かれているとする。

ソレノイド1の単位長さあたりの巻き数を n とする。

ソレノイド2の単位長さあたりの巻き数を n とする。

ソレノイドの長さは共に a であり、断面積は S であるとする。

電流は下図のように流れるとし、生じる磁場の向きは同じであるとする。



このとき、

(1) L=naSμ

(2) L=naSμ

(3) M12=M21=naSμ

(4) V/V=n/n

証明

ソレノイド内部の磁場は B=nμ+nμ である。(※参考:ソレノイドの自己インダクタンス)

よって、Φ=naBS=naSμ+naSμ である。

また、Φ=naBS=naSμ+naSμ である。

よって、L=naSμ、L=naSμ、M12=M21=naSμ である。

また、V=−dΦ/dt=naSdB/dt、V=−dΦ/dt=naSdB/dt である。

よって、V/V=n/n である。

P2 ( 1つのコイルに蓄えられる磁気的エネルギー )

自己インダクタンス L のコイルに電流を流す。

電流は I=0 から I≠0 まで増加するとする。

このとき、コイルに蓄えられる磁気的エネルギーは、

証明

いま、電流と逆向きの起電力 V=−LΔI/Δt が生じる。

また、電流によって微小時間 Δt の間に移動する電荷は ΔQ=IΔt である。

よって、微小時間 Δt の間に電流に成される仕事は ΔQ|V|=LIΔI である。

よって、

P3 ( 複数のコイルに蓄えられる磁気的エネルギー )

n個のコイル 1、・・・、n を考える。

各コイル i に電流 I を流す。

このとき、コイルに蓄えられる磁気的エネルギーは、

補足

ちなみに、点電荷の集団がもつ静電エネルギーは、

証明

まず、2つのコイル1と2について考える。

いま、コイル1と2の電流は 0 であるとする。

ここで、コイル2の電流を 0 に保ち、コイル1の電流を I=0 から I≠0 へ増加させる。

これによって蓄えられるエネルギーは次のように表される。(※P2)



次に、I を一定に保ち、コイル2の電流を I=0 から I≠0 へ増加させる。

これによって蓄えられるエネルギーは、



同様に、



つまり、



コイル n まで電流を流したときの全系のエネルギーを U とする。

これは次のように表せる。(※P1:相反定理、定義:相互インダクタンス)

P4 ( 定常的電流分布による磁気的エネルギー )

を連続的に分布する定常的電流分布とする。

このとき、磁気的エネルギーは次のように表される。



また、物質(透磁率μ)中の磁気的エネルギーは次のように表される。

補足

つまり、磁気的エネルギー密度は、

補足

ちなみに、静電エネルギーは次のように表される。



これは(1)に示した式と同じ形をしていることが分かる。

補足

断面積 S、長さ a、単位長さあたりの巻き数 n のソレノイドを考える。

よく知られているように、ソレノイド内部の磁場は B=μnI である。

よって、(1)より、次のように計算できる。(※参考:ソレノイドの自己インダクタンス)



これは P2 に一致する。

(1)の証明

まず、連続的に分布する定常的電流分布は閉ループの和の極限として表せることを示す。(★1)

定常状態において j=ε∇×B=(1/μ)∇×B である。(※マクスウェル方程式)(★2)

よって、∇・j=(1/μ)∇・(∇×B)=0 である。

つまり、j は 「 湧き出し 」 や 「 吸い込み 」 をもたない。

つまり、(★1)が示された。

よって、磁気的エネルギーは U=(1/2)limn→∞1≦i≦nΦ である。(※P3)(★3)

一方、Φ=∫・ndS=∫(∇×A)・ndS=∫・dr である。(※ストークスの定理)(★4)

また、I(r)・dr=j(r)・A(r)dV である。(★5)

また、limn→∞1≦i≦nCi は全空間の積分を意味する。(★6)

また、A・(∇×B)=B・(∇×A)−∇・(A×B)である。(★7)

(★2)〜(★7)より、次のように計算できる。(※ガウスの定理)



いま、A は 1/r に比例する。(※復習:ポアソン方程式〜ベクトルポテンシャルver)

また、B は 1/r に比例する。(※復習:ビオ・サヴァールの法則)

また、表面積分は r に比例する。

よって、上式の第2項は十分大きな空間で積分すると無視できる。

よって、

(2)の証明

物質中のマクスウェル方程式は通常のマクスウェル方程式の μ を μ で置き換えるだけで得られる。

よって、(1)の結果における μ を μ に置き換えるだけでよい。