「パウリ行列、SO(3)、SU(2)」の関係

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参考 ( 概要 )

このページでは次を示す。

(1) SO(3)=SU(2)/C

(2) SO(3)とSU(2)とパウリ行列を関連付ける式

ただし、C は巡回群を意味する。

SO(3)=SU(2)/C は群論の 「 準同型 」 を意味する式である。

ただし、以下の議論では群論の知識は直接には用いない。

ここでは SO(3)=SU(2)/C は次の意味であるとしてよい。

(*1) 自然な対応関係 SO(3):SU(2)=1:2 がある。

(*2) 上記の対応において 「 SO(3)行列同士の積 」 と 「 SU(2)の行列同士の積 」 も対応している。

パウリ行列はSO(3)とSU(2)を読み替える翻訳機である。

定義 ( 直交行列 )

A を n 次正方行列とする。

AA=I ( I は n 次単位行列 ) であるとする。

このとき、A を 『 直交行列 』 という。

定義 ( パウリ行列 )

次のように定義する。



これらを 『 パウリ行列 』 という。

パウリ行列を用いると、空間座標を複素2次行列で表示できる。



明らかに、この複素行列 X は次を満たす。



とくに、第1式を 『 エルミート性 』 という。

ゆえに、トレース 0 のエルミート行列は、空間回転、量子力学、表現論などの分野で有用である。

参考 ( 直交行列の性質 )

A を n 次直交行列とする。

このとき、detA=±1である。

証明

一般に、行列 B、C について|BC|=|B|・|C|である。

一般に、行列 B について|B|=|B|である。

よって、|AA|=|A|・|A|=|A|・|A|である。

一方、|AA|=|I|=1である。

よって、|A|=±1である。

参考 ( 直交行列は回転行列として表せる )

A を2次直交行列とする。

いま、detA=±1である。(※P1)

このとき、行列 A は次の形で表せる。

証明

いま、A=A−1 である。(※定義:直交行列)

一般に、



よって、



detA=1の場合、



よって、a=d、b=−c である。

よって、1=ad−bc=a+b である。

よって、定理の結論が得られる。

detA=−1の場合も同様である。

定義 ( 第 i 軸まわりの回転 )

第 i 軸まわりの回転を T(θ) と表す。

つまり、

例えば、位置ベクトル x を第3軸まわりで反時計まわりに回転させたものを x’とすると、

定義 ( 行列指数関数 )

X を n 次複素行列とする。

次のように定義する。



これを 『 行列指数関数 』 という。

復習 ( 行列指数関数の性質 )

(1) A が交代行列ならば、exp(A)は特殊直交行列である。

(2) A が trA=0 を満たす反エルミート行列ならば、exp(A)は特殊ユニタリ行列である。

復習 ( トレースの性質 )

次が成り立つ。

(1) tr(AB)=tr(BA)

(2) tr(PAP−1)=trA

P1

次が成り立つ。



補足

明らかに、(1)の exp(tA) は直交行列である。

また、(2)の exp(tA) は特殊ユニタリ行列である。

このことは既に確認した。(※復習:行列指数関数の性質)

(1)の証明

いま、A=−I である。

よって、A2n=(−1)I である。

また、A2n+1=(−1)A である。

よって、次のように計算できる。(※三角関数のテイラー展開)

(2)の証明

計算過程は(1)の場合と完全に同じである。

P2 ( 対角性は行列指数関数に遺伝する )

A=diag(a、a、a)を対角行列とする。

このとき、expA=diag(exp(a)、exp(a)、exp(a))である。

証明

いま、



よって、

P3

X を2次行列とする。

X は trX=0 のエルミート行列であるとする。

U を SU(2)行列とする。

このとき、X’=UXU もトレース0のエルミート行列である。

証明

いま、(X’)=(UXU=UX=UX=X’である。

また、trX’=tr(UXU)=tr(UUX)=trX=0 である。(※復習:トレースの性質)

P4 ( SO(3)とSU(2)とパウリ行列の関係〜その1 )

次のように定義する。



このとき、







(1)の証明

明らかに、iσ ( k=1、2、3 ) はトレース 0 の反エルミート行列である。

よって、U は SU(2) 行列である。

(2)の証明

いま、次が成り立つ。(※P1、P2)







つまり、

(3)の証明

いま、X はトレース 0 のエルミート行列である。

よって、X’=U(−θ)XU(−θ) もトレース 0 のエルミート行列である。(※P3)

よって、次のように表せる。



一方、



よって、



一方、



よって、

(4)の証明

(2)より、U(2π)=−I である。

よって、U(2π)U(2π)=I である。

( つまり、U(2π)は周期2で巡回する )

よって、U(θ+2π)=U(2π)U(θ)=−IU(θ)=−U(θ)である。

また、



つまり、1つのSO(3)行列に対して2つのSU(2)行列が対応している。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(3)=T(2)(1) とおく。

つまり、x’’=T(3)x、x’’=T(2)x’、x’=T(1)x である。

いま、x’=T(1)x ⇔ X’=U(1)XU(1) である。

また、x’’=T(2)x’⇔ X’’=U(2)X’U(2) である。

いま、x’’=T(2)x’=T(2)(1)x である。

また、X’’=U(2)X’U(2)=U(2)(1)XU(1)(2)=U(2)(1)X(U(2)(1) である。

よって、x’’=T(2)(1)x ⇔ X’’=U(2)(1)X(U(2)(1) である。

つまり、積 T(2)(1) と U(2)(1) が対応している。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)と(★2)は SO(3)=SU(2)/C を意味する。

P6 ( SO(3)とSU(2)とパウリ行列の関係〜その2 )

次のように定義する。



このとき、

(1)の証明

いま、



よって、



また、



よって、

(6)の証明

(5)の式において U→U と置き換えればよい。

ただし、Tji=Tij に注意する。