「基礎方程式はテンソル式である」⇔「基礎方程式はローレンツ共変である」

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参考 ( 概要 )

このページでは次の(1)と(2)が同値であることを示す。

(1) 基礎方程式はテンソル式である。

(2) 基礎方程式はローレンツ共変である。

定義 ( 反変ベクトル、共変ベクトル )

x’=∧(V)x をローレンツ変換とする。

変換則 u’=∧(V)u をもつ量 u を 『 反変ベクトル 』 という。

変換則 u’=∧(−V)u をもつ量 u を 『 共変ベクトル 』 という。

∧(−V)は∧(V)の逆行列である。

実際、

定義 ( 添字の上げ下げ )

次のように定める。

つまり、ημνは添字を上げ下げする。

ただし、ημνはミンコフスキ計量である。

つまり、

上記の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

いま、4元ベクトル(a、a、a、a)が反変ベクトルであるとする。

このとき、(−a、a、a、a)は共変ベクトルである。

つまり、時間成分の符合を反転させると反変ベクトルは共変ベクトルになる。

実際、



そこで、(−a、a、a、a)を(a、a、a、a)と表す。

注意

次のように記号を定める。



例えば、∂μ∂xμ=4 である。

これにより、波動方程式はシンプルに ∂μ∂xμφ=0 と表せる。

μ∂xμ を □ と表すこともある。

この □ を 『 ダランベルシアン 』 という。

参考

(1) ∂μ は共変ベクトルである。

(2) ∂μ は反変ベクトルである。

補足

むろん、∂μ=ημννである。

(1)の証明

いま、



よって、





よって、

(2)の証明

(1)より明らかである。(※定義:添字の上げ下げ)

定義 ( テンソル )

添字が反変ベクトルや共変ベクトルと同じように変換される量を 『 テンソル 』 という。

例えば、ημνはテンソルである。

ημνの成分は定数として定まっている。

ゆえに、「 ημνは変換則を満たさないのでは? 」 という疑問をもつ人がいるかもしれない。

しかし、ημνはテンソルとして変換則を満たす。

実際、η’μν=∧(−V)αμ∧(−V)βνηαβである。

つまり、η’00=−1、η’11=1、η’01=η’10=0 である。

つまり、ημνは変換則を満たすし、η’μν=ημνも成り立つ。

参考

次は同じ意味である。

(1) 物理法則の基礎方程式はテンソル式である。

(2) 物理法則の基礎方程式はローレンツ共変性をもつ。

証明

明らかである。

例えば、特殊相対論の運動方程式 Fμ=maμについて考えてみよう。

この方程式は明らかにローレンツ共変である。

実際、上式をローレンツ変換すると両辺は反変ベクトルの変換則に従って変換される。