双対写像は背後にある1形式を明示する

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参考

双対写像は多様体論などで基本的である。

定義 ( ユークリッド空間の接空間 )

p∈ とおく。

点 p を始点とする n 次元ベクトルを 『 の接ベクトル 』 という。

点 p における接ベクトル全体を T) と表す。

このとき、T) を 『 点 p における ( の ) 接空間 』 という。

注意 ( その1 )

明らかに、T) は ( 通常の和とスカラー倍に関して ) n 次元ベクトル空間である。

また、点 p を始点とするベクトルを平行移動すれば、これは原点 O を始点とするベクトルである。

つまり、T) と T) を同一視できる。

一方、明らかに、T) と を同一視できる。

つまり、T)、T)、 を同一視できる。

{ e、・・・、e } を の自然基底とする。

いま、T)の元は { e、・・・、e } の1次結合として表せる。

むろん、これは次のように考えてもよい。

(e、・・・、(e を、点 p を始点とする自然な基底ベクトルとする。

いま、T) の元は (e、・・・、(e の1次結合で表せる。

一方、 (e、・・・、(e と e、・・・、e は自然に同一視できる。

つまり、T) の元は e、・・・、e の1次結合として表せる。

定義 ( 接バンドル )

T()=∪p∈)とおく。

このとき、T() を 『 の接バンドル 』 という。

T()と × を同一視できる。(※お話〜その1)

注意 ( その2 )

f を の関数とする。

X∈T) とおく。

いま、X=1≦i≦nξ と表せる。

f の X 方向への微分係数は 1≦i≦nξ(∂f/∂x である。

この 1≦i≦nξ(∂/∂x を 『 X 方向への微分作用素 』 という。

ここで、X と 『 X 方向への微分作用素 』 を同一視する。

つまり、X=1≦i≦nξ(∂/∂x である。

この同一視より、Xf=1≦i≦nξ(∂f/∂x である。

とくに、(e と (∂/∂x を同一視できる。

むろん、(∂/∂x、・・・、(∂/∂x は T) の基底である。

分かりにくければ、次のように考えてもよい。

X∈T) とおく。

いま、X=1≦i≦nξ と表せる。

f の ( X 方向の ) 方向微分を Xf と表す。

つまり、Xf=1≦i≦nξ(∂f/∂x である。

いま、X1≦i≦nξ(∂/∂x である。

X=1≦i≦nξ と X1≦i≦nξ(∂/∂x を書き分けるのは面倒である。

そこで、両方を合わせて X=1≦i≦nξ(∂/∂x と表す。

定義 ( 双対空間 )

V を 上のベクトル空間とする。

V から への線形写像全体を V と表す。

このとき、V を 『 V の双対空間 』 という。

定義 ( 双対基底 )

V を 上のベクトル空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

いま、任意の v∈V は一意的に v=1≦i≦n ( c ) と表せる。

φ:V→ をφ(v)=c で定義する。

このとき、φ を 『 E の双対基底 』 という。

次が成り立つ。(※証明は省略する)

(1) φ(e)=δij

(2) {φ、・・・、φ}は V の基底である。

(3) dimV=dimV

定義 ( 座標関数 )

x=(x、・・・、x)∈ に対し、次のように定義する。



このとき、各 x を 『 座標関数 』 という、

注意 ( その3 )

) を T) の双対空間とする。

上の C 級関数全体を C) と表す。

(df):T)→ を (df)(X)=Xf で定義する。

明らかに、(df)∈T) である。

とくに、dx(∂/∂x)=δij である。

よって、次が成り立つ。

(1) { (dx、・・・、(dx } は T) の基底である。

(2) { (dx、・・・、(dx } は T) の基底{ (∂/∂x、・・・、(∂/∂x } と双対である。

通常の微分積分学では dx は形式的なもので意味をもたない。

しかし、今回の議論によって dx に意味が与えられた。

定義 ( φ の p における微分 )

φ: を C 級写像とする。

f: を C 級関数とする。

いま、



これは (∂/∂x と (∂/∂yαφ(p) の関係を表している。

そこで、次のように定義する。



このとき、(φ を 『 φ の p における微分 』 という。

つまり、(φ はφのヤコビ行列 (∂φα/∂x) によって定まる線形写像である。

定義 ( φ の双対微分 )

φ: を C 級写像とする。

次のように定義する。



このとき、φ を 『 φ の p における双対微分 』 という。

つまり、φ は (φ の双対である。

P1 ( 逆写像定理 )

φ:U→ を、p∈ の近傍 U で定義された C級写像とする。

rank(φ=n であるとする。( つまり、φ は同型写像であるとする )

このとき、p の近傍 V⊂U が存在して、V上でφ:V→φ(V)は同相写像となる。

補足

これは微分積分学で知られている 『 逆関数定理 』 の一般化である。

証明

これの証明はかなり面倒であるので省略する。

その代わり、次の定理で実際に使用してみよう。

P2 ( 曲面の貼り合わせに対する整合性 )

M⊂ を曲面の和集合とする。

M の部分集合に対し、その各点が相対位相に関して(正則)曲面であるとする。

M=∪Mα とおく。( 各 Mα は曲面である )

φα:Dα→Mα を Mα のパラメータとする。

α∩Mβ≠φであるとする。

このとき、φβ−1*φα:φα−1(Mα∩Mβ)→φβ−1(Mα∩Mβ) は C同相写像である。

証明

いま、φα と φβ は可微分である。

よって、φβ−1*φα は可微分である。

また、



よって、いま、左辺の3×2行列と右辺の3×2行列のrankは 2 である。(※定義:曲面)

よって、右辺の2×2行列の rank は 2 である。

よって、φβ−1*φα は同相写像である。(※P1:逆写像定理)

参考 ( 双対写像は背後にある1形式を明示する )

φ:D→ を曲面とする。

φ(D)=M とおく。

p∈M とおく。

いま、ある (u、v)∈D が存在して、p=φ(u、v) となる。

また、φ:T(u、v))→T(M)⊂T) である。

つまり、φ(∂/∂u)=φ、φ(∂/∂v)=φ である。

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f を M 上の関数とする。

f*φ は D 上の関数である。

X∈T(M) とおく。

いま、X=ξφ+ξφ と表せる。

つまり、X=ξφ(∂/∂u)+ξφ(∂/∂v) と表せる。

そこで、Xf=ξ∂(f*φ)/∂u+ξ∂(f*φ)/∂v と定義する。

つまり、M の接ベクトルを、M 上の関数に対する微分作用素と見なせる。

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よく知られているように、全微分は dφ=φdu+φdv と表される。

ただし、以前に述べたように、これは厳密ではない。

実際、dφ は M⊂ 上で定義された 1-形式であり、du や dv は D⊂ で定義された 1-形式である。

よって、厳密には次のいずれかで表される。

(*1) dφ=φθ+φθ ( φθ=du、φθ=dv )

(*2) φdφ=φdu+φdv

つまり、φ は背後にある基底ベクトルを明示する役割をもつ。

また、φ は背後にある M⊂ 上の1-形式を明示する役割をもつ。