相空間、単振動、楕円型不動点、双曲型不動点

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定義 ( 相空間 )

x を物体の位置とする。

v を物体の速度とする。

このとき、(x、v)平面を 『 相空間 』 という。

(v、x)平面を相空間と呼んでもよい。

定義 ( 解曲線 )

物体の状態は、位置 x と速度 v で定まる。

そこで、力 F が F(x、v) の形で表される場合を考える。

いま、2階微分方程式 mx’’(t)=F(x、x’) は次の連立1階微分方程式と見なせる。

(*1) mv’=F(x、v)

(*2) x’=v

いま、(*1)と(*2)の解 x=x(t)、v=v(t) は相空間上の曲線 ( パラメータは t ) と見なせる。

これを 『 解曲線 』 という。

参考 ( 運動方程式は相空間上のベクトル場 )

mx’’(t)=F(x、x’)を物体の運動方程式とする。(★)

(x(t)、v(t)) を、その解曲線とする。

いま、運動方程式(★)は、解曲線の速度ベクトルとして次のように表される。

上式を次のように表しても意味は同じである。

(*) d(x、v)/dt=(x’、v’)=(v、F(x、v)/m)

つまり、相空間の各点(x、v)にベクトル V(x、v)=(v、F(x、v)/m) が分布している。

つまり、物体の運動方程式は、相空間上のベクトル場と見なせる。

いま、物体が状態 Q=(x、v) であるとする。

これは相空間上の点である。

この後、点 Q は、初期値である点を始点として、速度ベクトルに接する解曲線の上を進む。

むろん、点 Q の速度は速度ベクトル V(x、v) と同じである。

ただし、『 点 Q の速度 V(x、v) 』 と 『 物体の速度 v 』 を混同しないように注意しよう。

とくに、力学的エネルギーが保存される場合、解曲線は等エネルギー曲線と一致する。

例えば、単振動の相空間は下図ように表される。(詳しくは以下で扱う)

P1 ( 単振動 )

mx’’(t)=−kx を単振動の運動方程式とする。

初期条件を x(0)=x、v(0)=v とする。

このとき、解曲線は次式によって表される。



また、解は次のように表される。

補足

つまり、単振動の解曲線は楕円である。

(1)の証明

いま、(1/2)mv+(1/2)kx=(1/2)mv+(1/2)kx である。(※力学的エネルギー保存則)

また、(1/2)mv=(1/2)mv+(1/2)kx−(1/2)kx≧0 である。

よって、|x|≦√(mv/k+x)=A である。

また、(1/2)mv+(1/2)kx=(1/2)kA である。

(2)の証明

いま、



ここで、u=√(m/k)v とおく。

すると、解曲線は、x+u=A と表される。

つまり、相空間(x、u)上で解曲線は半径 A の円である。

とくに、(x、u)平面の代わりに(u、x)平面を考えると、解曲線は反時計まわりである。



いま、



ここで、時刻 t に直線 OQ と u 軸のなす角を φ(t) と表す。

いま、u=Acosφ(t)、x=Asinφ(t) である。

また、



つまり、速度ベクトル d(u、x)/dt の向きは、OQ を反時計回りに π/2 回転させた方向である。

また、速度ベクトル d(u、x)/dt の大きさは、OQ に比例する。



また、u=Acosφ(t)、v=Asinφ(t) を運動方程式(*)に代入すると、



よって、



つまり、点 Q は角速度 ω=√(k/m) で周回する。

よって、φ(t)=ωt+φ と表せる。

また、x(t)=Asin(ωt+φ)である。

また、v(t)=ωu(t)=ωAcos(ωt+φ)である。

定義 ( 不動点 )

定常解に相当する解曲線は、相空間において動かない点として表される。

この点を 『 不動点 』 という。

例えば、単振動において初期条件 x(0)=0、v(0)=0 を考える。

明らかに、これは定常解である。

つまり、恒等的に x(t)=0、v(t)=0 である。

よって、(x、v)=(0、0) は相空間の不動点である。

P2 ( 不動点が極大ポテンシャル ⇒ 解曲線は双曲型 )

1次元の運動を考える。

F(x)=−dU(x)/dx であるとする。

いま、x=a はつり合いの点であるとする。

とくに、F’(a)=−k<0 であるとすると、次が成り立つ。

(1) つり合いの点においてポテンシャル U(x) は極小である。

(2) 不動点(a、0)まわりの解曲線は楕円で近似される。

とくに、解曲線は次のように表される。



一方、F’(a)=k>0 であるとすると、次が成り立つ。

(3) つり合いの点においてポテンシャル U(x) は極大である。

(4) 不動点(a、0)まわりの解曲線は双曲線で近似される。

とくに、解曲線は次のように表される。

補足

(1)や(2)の場合の不動点を 『 楕円型不動点 』 という。

(3)や(4)の場合の不動点を 『 双曲型不動点 』 という。

(1)と(2)の証明

いま、F(x)=F(a)+F’(a)(x−a)+o(|x−a|) と表せる。

また、F(a)=0 である。

よって、F(x)=F’(a)(x−a)+o(|x−a|) である。(★1)

よって、F(x)≒F’(a)(x−a)と近似できる。(★2)

また、(★1)より、U(x)=U(a)−(1/2)F’(a)(x−a)+o(|x−a|) である。

よって、U(x)≒U(a)−(1/2)F’(a)(x−a) と近似できる。(★3)

よって、(★2)、(★3)より、F(x)≒−k(x−a)、U(x)≒U(a)+(1/2)k(x−a) である。

つまり、点 x=a は極小ポテンシャルである。

また、点 x=a の近傍では、つねに点 x=a へ戻す向きに力が作用する。

よって、近傍で物体は単振動で近似される微小振動を行う。

つまり、解曲線は楕円に近似される。

(*1)の証明

P1と全く同じである。

(3)と(4)の証明

上と同様に、F(x)≒k(x−a)、U(x)≒U(a)−2−1k(x−a) で近似される。

つまり、U(a)は極大である。

運動方程式は、mx’’=kx である。

相空間の速度ベクトルは、d(x、v)/dt=(v、kx/m) である。

ちなみに、これを図示すると、



u=√(m/k)v とおく。

いま、



一方、(1/2)mv−(1/2)kx=(1/2)mv−(1/2)kx=E である。(※力学的エネルギー保存則)

よって、解曲線は、u−x=±A の形で表される。( 右辺の符合はエネルギーの正負に対応する )

(*2)の証明

A≠0、E>0 の場合について考える。

いま、u=Acoshφ(t)、x=Asinhφ(t) である。

ただし、よく知られているように、coshφ=(expφ+exp(−φ))/2、sinhφ=(expφ−exp(−φ))/2 である。

また、明らかに、d(coshφ)/dφ=sinhφ、d(sinhφ)/dφ=coshφ である。

よって、(*)より、dφ(t)/dt=√(k/m)=ω である。

また、φ(t)=ωt+φ である。

また、x=Asinh(ωt+φ)、v(t)=ωu(t)=ωAcosh(ωt+φ) である。