量子的気体分子→相空間の単位体積はhである

サイトのTOP→理系インデックス





参考 ( 立方体容器における量子的気体分子 )

1個の気体分子が一辺 L の立方体容器にあるとする。

気体分子は容器の外に出られないとする。

このとき、気体分子のエネルギーは、

補足

ただし、n、n、n は0以上の整数である。

補足

次のようにおく。



さらに、k=2π/λ とおく。

さらに、ド・ブロイ関係式 p=h/λ を用いると、



これは古典力学的エネルギーと一致している。

証明

いま、シュレディンガ方程式は、



ここで、φ(x、y、z)=φ(x)φ(y)φ(z) とおく。

すると、



上式左辺第1項の変数は x のみであり、第2項は y のみ、第3項は z のみである。

上式右辺は定数である。

よって、上式の等号が恒等的に成り立つためには第1項〜第3項は定数でなければならない。

そこで、これらを E、E、E とおく。

つまり、



いま、気体分子は容器の外に出られない。

よって、φ(0)=φ(L)=0 と規約してよい。(★)

ここで、次のようにおく。



この k を 『 波数 』 という。

いま、(*1)の解は φ(x)=Asinkx+Bcoskx の形である。

これを(*1)に代入すると、B=0、k=nπ/L ( n=1、2、・・・ ) である。

よって、

定義 ( 相空間 )

系の状態は粒子の位置 x と運動量 p で指定できる。

つまり、各状態は xp 平面上の点として表される。

粒子数が 1 個である場合は、(x、x、x、p、p、p) で表示できる。

粒子数が N 個である場合は、(x、・・・、x3N、p、・・・、p3N) で表示できる。

このような空間を 『 相空間 』 という。

また、相空間の点を 『 代表点 』 という。

つまり、時間が経過すると、代表点は相空間を移動する。

つまり、粒子数が N 個である場合、系の状態は 6N 次元相空間によって記述される。

相空間を 『 位相空間 』 と呼ぶ本もある。

ただし、これは数学で知られている位相空間とは別物である。

それと区別するために 『 相空間 』 と呼ぶ。

参考 ( 相空間の単位体積はhである )

分子が1次元領域 0≦x≦L において往復運動するとする。

いま、分子の運動量は次の値のみをとる。(※参考:立方体容器における量子的気体)



つまり、pL=(n/2)h である。

ここで、運動量を負の領域に拡張する。



いま、(p−(−p))h=nh である。

つまり、面積は h ごとに増加する。

よって、相空間の単位面積を h とすることは自然である。