変形勾配テンソル→変位勾配テンソル→速度勾配テンソル→リー時間微分

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) 物質座標と空間座標

(2) 変形勾配テンソル→ストレッチテンソル→コーシー-グリーンテンソル→有限歪みテンソル

(3) 変位勾配テンソル=「微小歪みテンソル+微小回転テンソル」

(4) 速度勾配テンソル=「変形速度テンソル+回転速度テンソル」 (5) リー時間微分

このページで議論する内容は 『 有限変形理論 』 である。

微小変形理論の場合、(7)に書いた2つの有限歪みテンソルは一致する。

これは 『 微小歪みテンソル 』 と呼ばれる。

ただし、微小変形理論のみを議論している本では、単に 『 歪みテンソル 』 と呼ばれる。

定義 ( 物質座標、空間座標 )

時刻 t=0 から時刻 t に連続体が運動(あるいは変形)するとする。

t=0 における座標を X と表す。

この座標系 X を 『 物質座標 』 とする。

ただし、この X は連続体に張り付けられているとする。

つまり、時間が経過すると、この座標系は変化し、その基底も変化する。

ただし、むろん、物体内の物質点 X=(X、X、X)は時間が経過しても変化しない。

一方、絶対的な座標を 『 空間座標 』 という。

つまり、空間座標は連続体の外にある。

図示すると、

以下、物質座標 X の基底を { E、E、E } と表すことが多い。

また、空間座標 x の基底を { e、e、e } と表すことが多い。

注意 ( 物質点の運動 )

物質点全体は連続的に運動するとする。

つまり、物質点が他の物質点と重なることはない。

また、1つの物質点が分離することもない。

つまり、これは物質点 X と位置 x が1対1に対応することを意味する。

つまり、X と x の対応関係は逆関係をもつ。

つまり、位置 x=x(X、t) を逆に解いて、X=X(x、t) と表すことができる。

ηを物質点 X に付く物理量とする。

むろん、これはη=η(X、t) と表せる。

ここで、X=X(x、t) を代入すれば、ηを x の関数として表すことができる。

この関数を η(x、t) と表す。

むろん、η=η(X、t)=η(x、t) である。

ただし、η(X、t) と η(x、t) は関数の形が異なることに注意しよう。

η=η(X、t)を 『 ηの物質表示(ラグランジュ表示)』 という。

η=η(x、t)を 『 ηの空間表示(オイラー表示)』 という。

参考 ( 単純せん断運動 )

=X+atX とおく。

図示すると、

証明

t=0 で点(0、0、0)にある粒子は、時刻 t で(0、0、0)にある。

t=0 で点(1、0、0)にある粒子は、時刻 t で(1、0、0)にある。

t=0 で点(0、1、0)にある粒子は、時刻 t で(at、1、0)にある。

t=0 で点(1、1、0)にある粒子は、時刻 t で(1+at、1、0)にある。

復習 ( テンソル積 )

2つのベクトル v と w から2階テンソルを作る演算を 『 テンソル積 』 という。

これを次のように表す。



ただし、レイアウトの都合で文中では v○w と表す。

このとき、次が成り立つ。

明らかに、(1)を仮定すると(2)を得る。

逆に、(2)を仮定するだけで(1)を得る。

実際、

復習 ( 2階テンソル )

線形変換作用素に対して自然に次の機能が付く。

(1) 1つのベクトルを別のベクトルに変換する。

(2) 2つのベクトルを1つのスカラーに変換する。

これらの機能に注目したとき、線形変換作用素を 『 2階テンソル 』 という。

(1)について

A を2階テンソルとする。

をベクトルとする。

すると、v=Au は別のベクトルである。

(2)について

A を2階テンソルとする。

、v を2つのベクトルとする。

機能(1)によってベクトル w=Av を作る。

さらに、内積 u・w をとればスカラーである。

つまり、φ(u、v)=u・Av である。

復習 ( 2重テンソル )

{ E、E、E } を物質座標の基底とする。

{ e、e、e } を空間座標の基底とする。

このとき、Y=YiJ(e○E) や Z=ZIj(E○e) を 『 2重テンソル 』 という。

=V を物質座標に基づくベクトルとする。

=v を空間座標に基づくベクトルとする。

このとき、次のように計算できる。(※定義:テンソル積)





変換前後でベクトルの基底が異なることに注意。

定義 ( 変形勾配テンソル )

=φ(X、t)、x+Δx=φ(X+ΔX、t) を2点の運動とする。

( むろん、x=φ(X、t)=x(X、t)と表記できる )

いま、次のように計算できる。(※テイラー展開)



ここで、|| ΔX ||→0 とすると、2次以上の項は無視できる。



ここで、次のようにおく。



このとき、F を 『 変形勾配テンソル 』 という。

つまり、dx=F(X、t)dX である。

つまり、変形勾配テンソルは dX を dx に変換する。

P1 ( 変形勾配テンソルの基底表示と表現行列 )

F を変形勾配テンソルとする。

F の基底表示は、



F の表現行列は、



F の転置テンソルは、



F の逆テンソルは、

(1)の証明

次のように計算できる。(※定義:テンソル積)

(2)の証明

(1)より明らかである。

(3)の証明

明らかである。

(4)の証明

次のように計算できる。



P2

剛体の運動に対して変形勾配テンソルは回転テンソルである。

証明

R(t)を剛体回転とする。

(t)を並進運動とする。

剛体運動は x(X、t)=R(t)X+x(t) と表せる。(★)

を物体の重心とする。

を任意の物質点とする。

いま、X と X は(★)を満たす。

よって、dX=X−X と dx=x−x に対して dx=R(t)dX が成り立つ。

一方、dx=FdX である。(※定義:変形勾配テンソル)

よって、F=R である。

復習 ( Fは逆変換をもつ )

J=detF はヤコビアンである。

また、既に注意したように、連続体の変形は連続的である。

つまり、各点 X と x は1対1に対応する。

よく知られているように、次は同値である。

(1) J は正則である。

(2) J≠0

(3) F の逆変換が存在する。

つまり、連続体の変形において F は正則であり、逆変換をもつ。

復習 ( 極分解定理 )

T=(Tij)を正則な2階テンソルとする。

このとき、負でない対称行列 U ( または V ) と直交行列 R が存在して T=RU=VR となる。

定義 ( ストレッチテンソル )

変形勾配テンソル F は正則である。(※復習:Fは逆変換をもつ)

よって、対称行列 U ( と V )、直交行列 R が存在して F=RU=VR となる。(※復習:極分解)

このとき、U や V を 『 ストレッチテンソル 』 という。

明らかに、次が成り立つ。

dx=FdX を連続体の変形とする。

連続体の変形は 「 回転テンソル R 」 と 「 物体の引き延ばし 」 から成る。

そのとき、次の2通りの手順がある。

(1) dX を引き延ばしてから回転させる。

(2) dX を回転させてから引き延ばす。

上の(1)は 「 dX 」 → 「 R−1dx=UdX 」 → 「 dx=RUdX 」 である。

上の(2)は 「 dX 」 → 「 RdX 」 → 「 dx=VRdX 」 である。

定義 ( コーシー・グリーンテンソル )

F=RU=VR を変形勾配テンソルの極分解とする。

次のように定義する。



このとき、C を 『 右コーシー-グリーンテンソル 』 という。

また、b を 『 左コーシー-グリーンテンソル 』 という。

これらについて次が成り立つ。

(1)〜(4)の証明

次のように計算できる。(※P1、復習:テンソル積)







定義 ( 有限歪みテンソル )

F を変形勾配テンソルとする。

次のように定義する。





このとき、E を 『 ラグランジュ・グリーン歪みテンソル 』 という。

また、e を 『 オイラー-アルマンジ歪みテンソル 』 という。

これらについて次が成り立つ。







つまり、E は dX から (ds)−(dS) を算出する2階テンソルである。

また、e は dx から (ds)−(dS) を算出する2階テンソルである。

(1)の証明

一般に、次のように計算できる。





そこで、上の定義のように E と e を定義する。

すると、

(2)の証明

E=(1/2)[FF−I] の左から F−T を掛け、右から F−1 を掛ける。

すると、e=F−TEF−1 である。

(3)の証明

e=(1/2)[I−(FF−1] の左から F を掛け、右から F を掛ける。

すると、E=FeF である。

参考

剛体回転において歪みテンソル E と e は O である。

証明

物体を X 軸まわりにθだけ回転させる。

いま、変形勾配テンソルは、



よって、



同様に、e=O である。

P3

(1) E を固有ベクトルは、C や U の固有ベクトルと一致する。

(2) e の固有ベクトルは、b や V の固有ベクトルと一致する。

(1)と(2)の証明

一般に、A=B−pI に対して A と B の固有ベクトルは一致することを示す。

いま、det(B−λI)=det((A+pI)−λI)=det(A−(λ−p)I) である。

つまり、A の固有値は B の固有値より p だけ小さい。

を B の固有ベクトルとする。

いま、σv=λv である。

また、Av=(B+pI)v=Av+pv である。

よって、(λ−p)v=Av である。

つまり、v は A の固有ベクトルである。

定義 ( 変位勾配テンソル、微小歪みテンソル、微小回転テンソル )

=x−X を変位とする。

次のようにおく。





つまり、du/dx=ε+ξである。( これは 『 直交分解 』 と呼ばれる )

εはdu/dxの対称部分である。

ξは du/dx の交代部分である。

du/dx を 『 変位勾配テンソル 』 という。

また、εを 『 微小歪みテンソル 』 という。

また、ξを 『 微小回転テンソル 』 という。

参考 ( 微小変形ではE≒e≒ε )

微小変形において E と e は微小歪みテンソルに一致する。

証明

=x−X を変位とする。

微小変位では物質表示と空間表示を区別する必要はない。

つまり、∂u/∂X≒∂u/∂x である。

一方、





よって、





また、微小変形では2次以上の項は無視できる。

よって、

定義 ( 物質微分 )

ηを任意の物理量とする。

その時間変化を表す微分を D/Dt と表す。

物質表示η(X、t)の場合、これは X を固定して t で微分することを意味する。

つまり、



空間表示η(x、t)の場合、η(x、t)とη(x+Δx、t+Δt)の変化を考える。

つまり、



とくに、上式右辺の第2項を 『 移流項 』 という。

P4 ( 変形勾配テンソルの物質微分 )

F を変形勾配テンソルとする。

このとき、次が成り立つ。









補足

(3)と(4)より、D(F−1)/Dt と (DF/Dt)−1 は一致しない。

(5)と(1)より、D(F)/Dt=(DF/Dt) である。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

(1)より明らかである。

(3)の証明

FF−1=I の両辺を微分すると、



よって、

(4)の証明

(1)より明らかである。

(5)の証明

次のように計算できる。

定義 ( 速度勾配テンソル、変形速度テンソル、回転速度テンソル )

(x、t)を速度ベクトル場とする。

これは Dx(X/、t)/Dt=∂x(X、t)/∂t の空間表示である。

次のように定義する。



つまり、l=d+w は直交分解であり、d は l の対称部分であり、w は l の交代部分である。

このとき、l を 『 速度勾配テンソル 』 という。

また、d を 『 変形速度テンソル 』 という。

また、w を 『 回転速度テンソル 』 という。

これらについて次が成り立つ。



上の(1)は l が dx を dv に変換することを意味する。

上の(2)は l が F を DF/Dt に変換することを意味する。

変形速度テンソルの物質微分は DF/Dt=∂v/∂X であった。

一方、速度勾配テンソルは l=∂v/∂x である。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

次のように計算できる。

(3)の証明

任意の dx に対して dx・wdx=0 である。(※wは交代テンソル)

よって、(1)より、

定義 ( 角速度テンソル )

R を剛体回転とする。

を並進運動とする。

いま、剛体運動は x(X、t)=RX+x と表される。

よって、v(x、t)=x=R(R(x−x))+x である。( 上付き ・ は D/Dt を意味する )

そこで、Ω=R とおく。

すると、v(x、t)=Ω(x−x)+x である。

このとき、Ω を 『 角速度テンソル 』 という。

Ωは2階交代テンソルである。

実際、O=I=(RR=R+R(R=R+(R=Ω+Ω である。

剛体運動において w=l=Ω である。

実際、剛体運動では F=R であり、d=0 である。(※定義:変形速度テンソル)

よって、w=l=F−1=R−1=R=Ω である。

P5

l=d+w を速度勾配テンソルとする。

U を右ストレッチテンソルとする。

R を回転テンソルとする。

このとき、



補足

(1)は変形速度テンソルが引き延ばしの速度に相当することを意味する。

(2)は回転速度テンソルが剛体回転の速度に相当することを意味する。

(1)と(2)の証明

次のように計算できる。(※定義:ストレッチテンソル)





一方、RR=RR=I より、R+RR・T=O である。

よって、





いま、x=X である。

よって、F=RU=I である。

また、R≠U−1 である。

よって、F=R=U=I である。

よって、d=U であり、w=R である。

P6 ( オイラー-アルマンジ歪みテンソルのリー時間微分は変形速度テンソルである )

次が成り立つ。





補足

(3)の右辺は 「 e を物質座標に変換して時間微分をとり、再び空間座標に変換する 」 を意味する。

このような操作を 『 リー時間微分 』 という。

(1)と(2)の証明

いま、l=F−1 である。(※P5)

また、(F−1=−F−1−1=−F−1l である。(※P4)

よって、



(3)の証明

いま、E=FeF である。(※定義:歪みテンソル)

よって、(1)より、