スピノルの2価性(スピノルを具体的に書き下す)

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参考 ( 概要 )

(1) 回転行列を指数関数行列を通して具体的に表示する。

(2) スピノル変換行列を指数関数行列を通して具体的に表示する〜その1

(3) ローレンツブーストを指数関数行列を通して具体的に表示する。

(4) スピノル変換行列を指数関数行列を通して具体的に表示する〜その2

復習 ( 指数関数行列 )

X を正方行列とする。

次のように定義する。



このとき、exp(X)を 『 Xの指数関数 』 という。

互いに可換な行列 AB=BA に対して e=eA+B=eB+A=e が成り立つ。

一方、AB≠BA の場合は成り立たない。

復習 ( スピノル変換行列 )

ディラック方程式は、



ψはローレンツ変換に対してψ’(x’)=S(∧)ψ(x)のように線形変換されると仮定する。

ここで、ディラック方程式にローレンツ共変性を要請する。

すると、



上式を満たすS(∧)は次のように表される。



ただし、



このようなS(∧)を 『 ∧に伴うスピノルの変換行列 』 という。

S(∧)の存在はディラック方程式がローレンツ共変性をもつことを意味する。

なぜなら、S(∧)の存在は方程式が矛盾なく変換されることを意味するからである。

定義 ( 添字の上げ下げ )

次のように定める。

つまり、ημνは添字を上げ下げする。

ただし、ημνはミンコフスキ計量である。

つまり、

よく知られているように、4元運動量は p=(E/c、p) と表される。

これを自然単位系で表すと、p=(E、p) となる。

よって、pμμ=E−|p である。

参考 ( 無限小ローレンツ変換 )

無限小ローレンツ変換は次のように表せる。

証明

無限小ローレンツ変換は ∧μν=δμν+εμν の形で表される。( ただしεμν=−ενμ

実際、ημν=∧μανβ=ημν(δμα+εμα)(δνβ+ενβ)=ηαβ+O(ε) である。

また、ε=ε0j=−εj0=ε である。

また、ε=−εjk=εkj=−ε である。

P1 ( 回転行列を指数関数行列によって具体的に書き下す )

(ij)(θ)を x 平面内の回転行列とする。

つまり、







ただし、



つまり、

補足

明らかに、∧(12)(θ)∧(12)(θ)=∧(12)(θ+θ)である。(※定義(指数関数行列)の補足)

むろん、このことは直接的な計算によって示すことができる。

証明

3角関数のテイラー展開は、



むろん、



また、



よって、

P2 ( スピノル変換行列を指数関数行列によって具体的に書き下す〜その1 )

(ij)(θ)を x 平面内の回転行列とする。

(ij)(θ)=S(∧(ij)(θ))とおく。

これは次のように表される。







ただし、

補足

つまり、スピノルの変換はθ=4π回転で元に戻る。

一方、ベクトルの回転はθ=2π回転で元に戻る。(※P1)

証明

復習(スピノル変換行列)より、



上の計算では ω12=−ω21 と σ12=−σ21 を用いた。

P3 ( ローレンツブースト )

ローレンツ因子γ(v)に対して次のようにおく。



すると、各方向(x方向、y方向、z方向)のローレンツブーストは、





補足

明らかに、∧(01)(η)∧(02)(η)=∧(01)(η+η)である。(※定義(指数関数行列)の補足)

むろん、このことは直接的な計算によって示すこともできる。

その場合は次の公式を用いる。

(*1) coshηcoshη+sinhηsinhη=cosh(η+η

(*2) sinhηcoshη+coshηsinh=sinh(η+η

証明

いま、



よって、

P4 ( スピノル変換行列を指数関数行列によって具体的に書き下す〜その2 )

(0k)(θ)を k 軸方向のローレンツブーストとする。

(0k)(η)=S(∧(0k)(η))とおく。

このとき、







ただし、

証明

証明は P2 と同じである。

ただし、P2では Δω12=θとしていたが、今回はΔω01=−ηである。

ゆえに、符号は逆になっている。