「スカラーポテンシャルの存在」と「ベクトルポテンシャルの存在」の証明

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復習 ( ポアソン方程式の解 )

φ(r)、ρ(r) をスカラー場とする。

φ=−ρ/ε であるとする。( これを 『 ポアソン方程式 』 という )

その解は次のように表される。

補足

この φ(r) を 『 静電ポテンシャル 』 という。

参考 ( ラプラス演算子 )

=∂/∂x+∂/∂y+∂/∂z を 『 ラプラス演算子 』 という。

むろん、スカラー場 φ(r) に対して次のように表せる。



また、ベクトル場 v=(v、v、v)に対して次のように表せることに注意。

復習 ( ベクトル解析の公式 )

任意のベクトル場 v(r)に対して ∇×(∇×v)=∇(∇・v) である。

P* ( スカラーポテンシャルの存在、ベクトルポテンシャルの存在 )

(1) 任意のスカラー場φに対して ∇×(∇φ)=0 が成り立つ。

(2) ベクトル場 v が ∇×v=0 を満たすならば、あるスカラー場φが存在して v=∇φとなる。

(3) 任意のベクトル場 v に対して ∇・(∇×v)=0 が成り立つ。

(4) ベクトル場 v が ∇・v=0 を満たすならば、あるベクトル場 A が存在して v=∇×A となる。

補足

(2)は(1)の逆に相当する。

(4)は(3)の逆に相当する。

補足

(4)の証明は2通り用意した。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

いま、∇×v=0 である。

また、∫・dr=∫(∇×v)・ndS である。(※参考ストークスの定理)

よって、∫・dr=0 である。

閉曲線 C 上の2点 A と B をとり、閉曲線 C を分割する。

いま、点 A から B に至る2つの経路 Γ と Γ がある。

つまり、C=Γ−Γ である。



つまり、∫・dr=∫Γ・dr−∫Γ・dr である。

よって、∫Γ・dr=∫Γ・dr である。

つまり、任意の2点をつなぐ ( v の ) 線積分は経路に依存しない。

そこで、位置ベクトル r から r に至る線積分を次のように表してよい。



始点の位置ベクトル r とし、任意の位置 r に至る線積分の値を φ(r) と表す。

つまり、



いま、



一方、φ(r+Δr)−φ(r)=∇φ・Δr である。

よって、v=∇φである。

(3)の証明

=(v、v、v) とおく。

次のように計算できる。

(4)の証明〜その1

=∇×A を満たすベクトル場 A(r) が見つかったとする。

両辺の回転を考える。

すると、∇×v=∇×(∇×A)=−∇+∇(∇・A)である。(※参考:ベクトル解析の公式)(★1)

ここで、上式右辺の第2項は 0 であるとする。

いま、∇=−∇×v である。(★2)

その解は次のように表せる。(※参考:ポアソン方程式の解)



( ただし、r→∞ で A→0 という条件を課している )

むろん、(*)は(★2)の解でる。

ただし、(*)は(★1)の解でもある。

以下、まず、このことを示そう。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★2)の両辺について発散を考える。

すると、(3)より、∇・∇=∇・(∇×A)=0 である。

と ∇・ の順番を入れ替えると、∇(∇・A)=0 である。

よって、∇・A=0 である。(※参考:ポアソン方程式の解)

よって、(*)は(★1)の解である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、既に確認したように、∇・v=∇×(∇×A)である。

つまり、∇×(v−(∇×A))=0 である。

よって、(2)より、あるスカラー場φが存在して v−(∇×A)=∇φ と表せる。(★3)

両辺の発散をとる。

上式の左辺は ∇・v−∇・(∇×A)=0−0=0 である。

上式の右辺は ∇・∇φ=∇φ である。

よって、∇φ=0 である。

よって、φ=0 である。(※参考:ポアソン方程式の解)

よって、(★3)より、v=∇×A である。

つまり、(*)は v=∇×A を満たす。

(4)の証明〜その2

(r)を次のように定める。



この(*)は v=∇×A を満たす。

以下、このことを計算して示す。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

∇×A の z 成分は次のように表せる。(※部分積分)



最後の計算で第1項が 0 となるのは、定理の仮定 ∇・v=0 による。

また、途中の計算では次のことを用いた。



とくに、部分積分の計算では次を用いた。





−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一般に、ポアソン方程式 ∇φ=−ρ/ε の解は次のように表される。(※参考:ポアソン方程式の解)



つまり、任意のスカラー場φ ( ただし r→∞ でφ(r)→0 ) に対して上式が成り立つ。

一方、既に示したように、



よって、(∇×A=v である。

同様に、(∇×A=v、(∇×A=v である。

よって、v=∇×A である。