スカラー3重積→ヤコビアン→変数変換公式

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(*) 平行六面体の体積はスカラー三重積によって表示される。

(*) ヤコビアンは微小体積比である。

(*) 変数変換公式

スカラー三重積は 「 行列式 」 を 「 ベクトルの外積・内積 」 によって表示する。

注意 ( 完全反対称テンソル )

εijk が次の(1)〜(3)を満たすとする。

(1) 指標(i、j、k)が(1、2、3)の偶置換である場合は εijk=+1 である。

(2) 指標(i、j、k)が(1、2、3)の奇置換である場合は εijk=−1 である。

(3) 指標(i、j、k)が同じ指標を2つ以上もつ場合は εijk=0 である。

このとき、εijk を 『 完全反対称テンソル 』 という。

つまり、ε123=ε231=ε312=1であり、ε132=ε321=ε213=−1である。

また、上記以外の場合は εijk=0 である。

例えば、ベクトル v=(v、v、v) に対して次のように表記できる。

復習 ( 行列式 )

A=(Aij) を正方行列とする。

その行列式は次のように表される。

よく知られているように、行列式の値は、その成分を転置しても変化しない。

このことは上に書いた交代記号による行列式の表示によって明らかであろう。

よく知られているように、列を変換すると行列式の符合は反転する。

つまり、

よく知られているように、列のスカラー倍は行列式のスカラー倍である。

つまり、

むろん、行列 A の各成分を k 倍した場合、その行列式は k 倍となる。

P1 ( スカラー3重積[その1])

、b、c を辺とする平行六面体の体積は V=a・(b×c)=det(a、b、c) である。

補足

・(b×c)を 『 スカラー3重積 』 という。

補足

既に確認したように、行列式は列と列を交換すると符合が逆になる。

つまり、det(a、b、c)=−det(b、a、c)=−det(a、c、b)である。

今回の定理により、これは a・(b×c)=−b・(a×c)=−a・(c×b)である。

つまり、行列式の性質を内積と外積の性質によって理解できる。

証明

V=a・(b×c)は明らかである。



また、次のように計算できる。

P2 ( スカラー3重積[その2])

A を任意の正方行列とする。

このとき、det(Aa、Ab、Ac)=det(A)det(a、b、c)である。

証明

次のように計算できる。



また、



よって、

定義 ( ヤコビアン )

(X、X、X)を3変数ベクトル値関数とする。

つまり、x=(x、x、x)と表せる。

次のように定義する。



このとき、J[x] を 『 ヤコビアン 』 という。

P3 ( ヤコビアンは微小体積比である )

変換前の微小平行六面体の体積を dV とする。

変換後の微小平行六面体の体積を dv とする。

このとき、ヤコビアンは J=dv/dV である。

証明

(X、X、X)を3変数ベクトル値関数とする。

いま、Δx=x(X+ΔX)−x(X)=(∂x/∂X)ΔX+O(||ΔX||)である。(※テイラー展開)

つまり、dx=(∂x/∂X)ΔX=JΔX である。

dX、dX、dX を辺とする平行六面体の体積を dV とする。

dX、dX、dX を x によって変換したものを dx、dx、dx と表す。

つまり、dx=JdX である。

dx、dx、dx を辺とする平行六面体の体積を dv とする。



つまり、J=dv/dV である。

参考 ( 変数変換公式 )

変数変換 x(X、X、X)=(x、x、x)に対して次が成り立つ。(※P3)



むろん、上式を次のように表してもよい。





これらを 『 変数変換公式 』 という。