数学流テンソル→指標の上下

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定義 ( 数学流テンソル )

V を n 次元ベクトル空間とする。

{ e、・・・、e } を V の基底とする。

{ f、・・・、f } を { e、・・・、e } の双対基底とする。

次のように定義する。



ただし、V は r 個だけ並び、Vは s 個だけ並んでいるとする。

このとき、T(V)を 『 r 階共変 s 階反変混合テンソル空間 』 という。

あるいは、これを 『 (r、s)テンソル空間 』 という。

むろん、T(V)の元は次の形で表される。



ここで、各 i や j は { 1、・・・、n } のいずれかである。

つまり、T(V)の基底は n(r+s)個の元から成る。

復習 ( テンソルの変換則 )

e’=a ( e=be’ ) を基底変換とする。

このとき、



むろん、(0)は次の(1)(2)などを意味する。



定義 ( 指標の上下 )

g∈T(V)を2階共変テンソルとする。

つまり、次のように表せる。



さらに、行列(gij)は正則であるとする。

(gij)を、行列(gij)の逆行列とする。

つまり、gikkj=δ である。

次のように定める。

注意 ( 説明と表記 )

T を任意のテンソルとする。

g を2階共変テンソルとする。

このとき、

(1) g と T を縮合すると、T の上添字は下添字になる。

(2) g−1と T を縮合すると、T の下添字は上添字になる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上の(1)と(2)を確認する。

次のテンソルを考える。



「 gの右添字 」 と 「 Aの2番目の添字 」 で縮合すると、



次に、g−1 に注目する。



「 g−1の右添字 」 と 「 Bの2番目の添字 」 で縮合すると、



つまり、C と A は一致する。

つまり、A と g を縮合した後で g−1 で縮合すると、元に戻る。

つまり、A と g を縮合しても g−1 で復元できる。

つまり、A と g を縮合しても A の情報は失われない。

そこで、Bim を Aim と表してよいとする。

つまり、



つまり、g は上添字を下げる。

むろん、g−1 は下添字を上げる。

上の議論では 「 g の右添字 」 や 「 g−1の右添字 」 に関して縮合した。

しかし、実際には g や g−1 は対称テンソルであることが多い。

ゆえに、実際には 「 g と縮合する 」 と表現するだけで十分である。

g が対称テンソルならば g−1 も対称テンソルである。

なぜなら、A が対称行列ならば、A−1 も対称行列となるからである。

実際、I=(AA−1=(A−1=(A−1A である。

これは(A−1=A−1 を意味する。