「尺度のパラドクス」に対する詳細な説明

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参考 ( 概要 )

相対論のパラドクスとして次は有名である。

(1) 時計のパラドクス(固有時間)

(2) 尺度のパラドクス(ローレンツ収縮)

このページでは(2)について議論する。

復習 ( x軸方向のローレンツ変換 )

O と O’を慣性系とする。

O’は O に対して x 軸方向に速度 V で運動しているとする。

このとき、

明らかに、∧(V)の逆行列は∧(−V)である。

つまり、

参考 ( 尺度のパラドクス )

2つの刃をもつ裁断機を考える。

刃は平行に設置されており、刃間の距離は (3/5)L であるとする。

これらの刃は同時に降下し、台の上にあるコンニャクを切断する。

ここに、速度 V で長さ L のコンニャクを通す。

速度 V が小さい場合、コンニャクは刃によって切断されるであろう。

しかし、V=(4/5)c の場合、コンニャクは切られずに裁断機を通過できる。(★1)

なぜなら、この場合にはコンニャクの長さは次のように短くなるからである。(※ローレンツ収縮)



むろん、これは裁断機に伴う慣性系から見た場合である。

では、この現象をコンニャクに伴う慣性系から見た場合はどうか?

この慣性系においてコンニャクは静止していて、裁断機が相対速度 V で運動している。

つまり、コンニャクの長さは L であり、裁断機の刃間の距離は (3/5)L である。

よって、コンニャクは途中で切断されてしまう。(★2)

(★1)と(★2)は矛盾している。

実際には矛盾しない。

なぜなら、主張(★2)は間違いだからである。

このような誤解が生じる原因は(x軸方向の)ローレンツ変換で y=y’となっていることにある。

これによって y 軸方向(刃の進行方向)が変換されないと錯覚する。

実際には y=−vt と表され、この t が変換を受ける。

結果、コンニャクの先端で刃の降下が完了しているとき、コンニャクの終端では刃は降下は完了していない。

つまり、コンニャクに伴う慣性系では 「 刃の同時性 」 が破れる。

以下、これを数式で示す。

O を裁断機に伴う慣性系とする。

O’をコンニャクに伴う慣性系とする。

つまり、O’は O に対して相対速度 V で x 軸方向に運動している。

コンニャクの進行方向に x 軸をとる。

コンニャクに対して鉛直方向に y 軸をとる。

コンニャクの先端を A とし、終端を B とする。

コンニャクの先端に対応する刃を P とし、コンニャクの終端に対応する刃を Q とする。

刃の降下する速さを v とする。( コンニャクの速さ V と混同しないように注意 )



いま、



(*1)より、次が成り立つ。(※復習:ローレンツ変換)



よって、x’=γL’=L である。

同様に、B、P、Q の x’座標を計算すると、



同様に、y’座標を計算すると、



つまり、コンニャクの先端 A で刃 P の降下が完了するとき、刃 Q は空中にある。

よって、刃 Q が降下を完了する瞬間に、コンニャクの終端 B は刃 Q を通過する。

つまり、慣性系 O’で観察してもコンニャクは切断されない。