調和振動子→基底状態と励起状態→エルミート多項式による解法

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参考 ( 概要 )

古典力学ではポテンシャル V(x)=(1/2)kx で運動する質量を 『 調和振動子 』 という。

例えば、バネに質点をつないだ系は調和振動子であり、質点は単振動を行う。

また、物理の世界には近似的に調和振動子と見なせる系が多くある。

よって、調和振動子を解くことは有用である。

そこで、このページでは調和振動子のシュレディンガ方程式を解く。

調和振動子のシュレディンガ方程式はエルミート多項式によって解かれる。

定義 ( 調和振動子のハミルトニアン )

次のように定義する。





このとき、H(p、x) を 『 調和振動子のハミルトン関数 』 という。

また、H を 『 調和振動子のハミルトニアン 』 という。

ωは角振動数である。

実際、V(x)=(1/2)mx で質量 m の質点の角振動数は ω=√(k/m) となる。(※力学)

ここでωを用いるのは、この表示の方が後の議論で便利だからである。

規約 ( 無限遠での境界条件 )

調和振動子では x→±∞ でポテンシャルが無限大となる。

実際、limx→±∞V(x)=limx→±∞(1/2)mx=+∞ である。

よって、粒子は x=0 から遠くへ離れることはない。

よって、状態関数 φ(x) に対して limx→±∞φ(x)=0 と規約することは自然である。

定義 ( エルミート共役 )

をオペレータとする。

ψA∧†=A∧*ψ と定義する。

このとき、A∧† を 『 A エルミート共役 』 という。

*は複素共役を意味する。

つまり、A∧† は A の複素共役で、左側にある関数に作用する。

定義 ( エルミートオペレータ )

をオペレータとする。

∧†=A であるとする。

このとき、A を 『 エルミートオペレータ 』 という。

これは線形代数の 『 エルミート変換 』 や、関数解析の 『 自己共役作用素 』 に相当する。

参考

運動量オペレータは次式で表される。

既知とする。

参考

運動量オペレータはエルミート性をもつ。

既知とする。

P1

運動エネルギーの期待値は負にならない。

証明

次のように計算できる。(※参考:運動量オペレータはエルミート性をもつ)

(*) 〈p〉=∫ψ∧2ψdr=∫ψ∧†ψdr=∫(p∧*ψ)pψdr=∫|pψ|dr〉≧0

よって、〈E〉=〈p〉/2m≧0 である。

定義 ( 基底状態 )

φ=Eφ を調和振動子のシュレディンガ方程式とする。(★)

いま、E=〈p/2m〉+〈mω/2〉≧0 である。(※P1)

つまり、(★)のエネルギー固有値は下に有界である。

つまり、(★)は最小なエネルギー固有値 E をもつ。

このとき、E を 『 基底状態のエネルギー 』 という。

また、E に付く固有状態 φ を 『 基底状態 』 という。

注意 ( q )

以下の議論では次のように記号を定める。

この記号 q により、調和振動子のシュレディンガ方程式は、次のように表される。

定義 ( 昇降オペレータ )

次のように定義する。



このとき、a を 『 下降オペレータ 』 という。

また、a を 『 上昇オペレータ 』 という。

既に確認したように、調和振動子のシュレディンガ方程式は、



これを昇降オペレータを用いて書き換えると、

が a のエルミート共役であることを確認する。

いま、次のように計算できる。(※部分積分、規約:無限遠での境界条件)



つまり、ψ=aψ である。

一方、a は実オペレータである。

よって、ψ=aψ=aψ である。

よって、a は a のエルミート共役である。

定義 ( 励起状態 )

φ を基底状態とする。

を上昇オペレータとする。

φ=A(aφ と定義する。

ただし、A は規格化定数である。

このとき、φ を 『 励起状態 』 という。

規格化定数 A の具体的な値は後で求める。

P2

(1) 昇降オペレータはエルミート性をもたない。

(2) [a、a]=1

補足

つまり、[a、a]≠0 である。

つまり、a と a は(交換子の意味で)可換ではない。

(1)の証明

明らかである。(※定義:昇降オペレータ)

(2)の証明

次のように計算できる。



つまり、[a、a]=1 である。

P3 ( 昇降オペレータはエネルギーを上下させる )

φ=Eφ を調和振動子のシュレディンガ方程式とする。

a、a を昇降オペレータとする。

このとき、次が成り立つ。

補足

既に確認したように、

(1)の証明

いま、aa−aa=1 である。(※P2)

よって、aaa=(aa+1)a である。(★)

いま、



よって、



よって、(★)より、

(2)の証明

(1)の議論では(*)に対して左から a を掛けた。

この a の代わりに a を掛けて同様に議論すればよい。

規約 ( aφ=0 )

基底状態 φ に下降オペレータ a を作用させた結果は 0 であるとする。

つまり、aφ=0 であるとする。

既に確認したように、Hφ=Eφ で、E は最小のエネルギーである。

ここで、下降オペレータを作用させると、



しかし、これは E よりも小さいエネルギーが得られることを意味していて矛盾である。

そこで、aφ=0 と規約することは自然である。

P4

次が成り立つ。

(1)の証明

シュレディンガ方程式より、



φ=φ とすると、次が成り立つ。(※規約:aφ=0)

(2)の証明

いま、aφ=0 である。(※規約:aφ=0)

つまり、(d/dq+q)φ(q)=0 である。

その一般解は、φ=Aexp(−q/2) である。

一方、



よって、



よって、



一方、よく知られているように、次が成り立つ。(※ガウス積分)



よって、

(3)の証明

いま、φ=A(aφ である。

を基底状態 φ のエネルギーとする。

を励起状態 φ のエネルギーとする。

(1)より、



よって、



よって、



一方、次のように計算できる。(※ a は a のエルミート共役 )



よって、次が成り立つ。(※Aは規格化定数)



よって、



いま、[a、a]=aa−aa=1 である。(※P2)

よって、aaa=(aa+1)a である。

よって、aa=aa+1 である。

よって、



よって、a(aφ=n(an−1φ である。(※規約:aφ=0)

同様に、a(aφ=n(n−1)(an−2φ である。

同様に、a(aφ=n!φ である。

よって、(*)より、

定義 ( 表現行列 )

を物理量 A に付くオペレータとする。

いま、A の固有関数から成る完全正規直交系 φ が存在する。(※P1)

次のように定義する。



このとき、行列 A=(Amn) を 『 A の表現行列 』 という。

これを 『 A の行列表示 』 と呼ぶことも多い。

P5 ( 物理量の期待値は表現行列の対角成分で表される )

を物理量 A に付くオペレータとする。

A=(Amn) を A の表現行列とする。

このとき、〈A〉=|cnn である。

証明

ψを量子状態とする。

いま、A の固有関数から成る完全正規直交系が存在する。(※量子力学の要請)

つまり、Aφ=aφ であり、ψ=φ と表せる。

また、〈A〉=|c|cφφdr=|cnn である。(※確率解釈)

定義 ( ディラックのデルタ関数 )

次の条件(1)と(2)を満たす関数 δ を定める。



このとき、δ(t)を 『 ディラックのデルタ関数 』 という。

むろん、これは通常の関数とは異なる。

つまり、上記の定義は形式的である。

ディラックのデルタ関数は、厳密には 『 超関数 』 という分野で定義される。

ただし、以下の議論ではここに書いた形式的な定義で十分である。

P6

φ を固有状態から成る完全正規直交系とする。

このとき、φ(r’)φ(r)=δ(r−r’)である。

証明

いま、任意の関数 f(r) に対して ∫f(r)δ(r−r’)dr=f(r’) である。(※定義:デルタ関数)(★1)

また、∫φφ(r)dr=δnm である。(※定義:正規性、直交性)(★2)

また、f(r)=φ(r) と展開できる。(※定義:完全性)(★3)

(★2)、(★3)より、∫φ(r)f(r)dr=∫φ(r)φ(r)dr=c である。(★4)

よって、f(r)=(∫φ(r’)f(r’)dr’)φ(r)=∫(φ(r’)φ(r))f(r’)dr’ である。

よって、(★1)より、φ(r’)φ(r)=δ(r−r’) である。

P7 ( オペレータの積に付く表現行列 )

、B をオペレータとする。

(AB)mn を、A の行列表示とする。

このとき、(AB)mnmkkn である。

証明

いま、A の固有関数から成る完全正規直交関数系 φ が存在する。(※量子力学の要請)

次のように計算できる。(※P6)

P8 ( 零点振動 )

調和振動子に対して次が成り立つ。

補足

(2)の Δx と Δp は 『 分散 』 である。

つまり、次のように定義される。

補足

(3)と(4)は基底状態 n=0 で振動子の位置と運動量が揺らいでいることを意味する。

これを 『 零点振動 』 という。

これは量子力学の特色である。

実際、古典力学の場合、最小エネルギーでは、ポテンシャルの最小点で質点が静止する。

(1)と(2)の証明

mn を下降オペレータの行列表示とする。

いま、次のように計算できる。(※P5)



同様に、



つまり、



一方、定義(昇降オペレータ)より、



よって、q の行列表示は、



また、d/dq の行列表示は、



よって、〈q〉=0、〈d/dq〉=0 である。(※P5)

いま、次の比例関係がある。



よって、〈x〉=0、〈p〉=0 である。

(3)と(4)の証明

(1)と(2)より、次のように計算できる。(※P6)



(5)の証明

(3)と(4)より、

P9

次が成り立つ。

補足

一般に、y’’−2xy’+2νy=0 を 『 エルミート微分方程式 』 という。

エルミート微分方程式に対して次が成り立つことが知られている。

(*) νが非負整数ならば、解 y(x) は x の多項式で表される。

よって、νが非負整数ならば、limx→∞y(x)exp(−x/2)=0 である。

つまり、規約(無限遠での境界条件)が満たされる。

(1)の証明

次のように計算できる。(※P7)



次の形で表せると仮定する。(※数学的帰納法)



いま、



つまり、任意の n に対して(*2)のような形で表せる。

ここで、次のようにおく。



さらに、次のようにおく。



よって、P7より、

(2)の証明

(*3)、(*4)より、Hn+1(q)=−H’(q)+2qH(q) である。

(3)の証明

(*2)より、



いま、[a、a]=aa−aa=1 である。(※P2)

よって、aaa=(aa+1)a である。

よって、



よって、a(aφ=(aaφ+n(an−1φ=n(an−1φ である。(※規約:φa=0)

よって、



(*5)、(*6)より、2−1/2’(q)=nhn−1(q) である。

よって、(*4)より、H’(q)=2nHn−1(q) である。

よって、(2)より、Hn+1(q)=2qH(q)−2nHn−1(q) である。

(4)の証明

を基底状態 φ のエネルギーとする。

を励起状態 φ のエネルギーとする。

P4より、



よって、



よって、



上式に(1)の式を代入すると、



一方、



よって、H’’(q)−2qH’(q)+2nH(q)=0 である。