離散スペクトル→シュレディンガー方程式の一般解

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注意

線形変換、線形作用素、線形オペレータは基本的に同じ意味で用いられる。

定義 ( 複素ベクトル空間 )

係数体として複素数体 をもつベクトル空間を 『 複素ベクトル空間 』 という。

例えば、 は複素ベクトル空間として見なせる。

の基底として次を採用できる。



とくに、このような基底を 『 自然基底 』 という。

これは実ベクトル空間と同様である。

定義 ( エルミート共役 )

L=(Lij) を行列とする。

=(Lji) と定義する。

このとき、L を 『 Lのエルミート共役 』 という。

記号 † は 「 ダガー 」 と読まれる。

*は複素共役を意味する。

つまり、L は L=(Lij) の転置行列の複素共役である。

注意

明らかに、〈e|L∧†|e〉=〈e|L|e である。

定義 ( ケットベクトル )

以下の議論では縦ベクトルを|a〉 と表す。

つまり、



このとき、|a〉 を 『 ケットベクトル 』 という。

上式では等号を用いず、矢印を用いた。

なぜなら、左辺の |a〉 は座標に依存しないが、右辺は座標に依存するからである。

ただし、これを等号で結ぶ本もある。

その場合、座標が1つ定まっていると認識し、留意する必要がある。

定義 ( ブラベクトル )

記号 〈a| を次のように定義する。



このとき、〈a|を 『 ブラベクトル 』 という。

つまり、〈a|=|a〉 である。

注意 ( 内積の座標変換不変性 )

|u〉 を完全正規直交系とする。

|a〉=a|u〉+・・・+a|u〉、|b〉=b|u〉+・・・+b|u〉 をケットとする。

このとき、a+・・・+a は座標変換に対して不変である。

補足

|u’〉 を別の完全正規直交系とする。

いま、|a〉=a’|u’〉+・・・+a’|u’〉、|b〉=b’|u’〉+・・・+b’|u’〉 と表される。

このとき、a+・・・+a=(a’)b’+・・・+(a’)b’ が成り立つ。

これが今回の定理の主張である。

証明

既知とする。

定義 ( ブラケット )

|a〉=a|u〉+・・・+a|u〉、|b〉=b|u〉+・・・+b|u〉 をケットとする。

次のように定義する。(※注意:内積の座標変換不変性)



このとき、〈a|b〉 を 『 ブラケット 』 という。

とくに、〈a|b〉=0 となるとき、「 |a〉 と |b〉 は直交する 」 という。

明らかに、次の等式が成り立つ。

明らかに、〈a|b〉=〈b|a〉 である。

明らかに、〈e|a〉=〈e|e〉=〈e|e〉=δij=a である。

注意 ( 線形変換は基底に対する値のみで定まる )

を線形変換とする。

の値は基底 |u〉 に対する L|u〉 のみで決定される。

つまり、N個の値 L|u〉、・・・、L|u〉 のみで L は定まる。

証明

任意の |a〉 は |a〉=a|u〉+・・・+a|u〉 の形で表される。

よって、L|a〉=a|u〉+・・・+a|u〉 である。

この L|a〉 は、L|u〉、・・・、L|u〉 によって計算できる。

定義 ( 線形変換の表現行列 )

を線形変換とする。

|u〉 を基底とする。

ij=〈u|L|u〉 とおく。

このとき、行列 L=(Lij) を 『 |u〉 に伴う L の表現行列 』 という。

とくに、自然基底に対して Lij=〈e|L|e〉 は、ベクトル L の i 番目の成分である。

むろん、L は座標(基底の取り方)に依存しない。

一方、その表現行列は座標に依存する。

定義 ( 1

恒等変換を 1 で表す。

つまり、任意の |a〉 に対して 1|a〉=|a〉 である。

定義 ( 完全性 )

|u〉 をベクトルの集合とする。

任意のベクトルは、|u〉 の1次結合で表されるとする。

このとき、「|u〉 は完全である 」 という。

むろん、基底ベクトルは完全である。

注意 ( 完全性による表示〜その1 )

|u〉 が完全であることを 11≦i≦N|u〉〈u| と表す。

この表記は自然に完全性を意味する。

証明

実際、



とくに、座標系を1つ固定して、自然基底を採用すると、上式は次を意味する。



むろん、(*1)と(*2)を等号で結ぶことはできない。

注意 ( 完全性による表示〜その2 )

を線形変換とする。

|u〉 を完全正規直交系とする。

L=(Lij) を、|u〉 に伴う L の表現行列とする。

このとき、次のように表せる。

証明

次のように計算できる。

注意 ( 完全性による表示〜その3 )

自然基底 |e〉 に対して次が成り立つ。

(1)の等式は、一般の完全正規直交系に対しても成り立つ。

(2)や(3)の対応は、一般の完全正規直交系に対しては成り立たない。

参考 ( 射影変換 )

|u〉 を完全正規直交系とする。

このとき、Pα=|uα〉〈uα|を 『 射影変換 』 という。

定義 ( 自己共役 )

=L ( L∧†=L ) であるとする。

このとき、「 L は自己共役である 」 という。

また、L を 『 エルミート行列 』 という。

また、L を 『 エルミート変換 』 という。

量子力学では測定値が実数になる物質量はエルミート変換で表される。

例えば、位置 x、運動量 p、エネルギー H である。

とくに、H は 『 ハミルトニアン 』 と呼ばれる。

つまり、H∧†=H である。

ここで、

「 物質量がエルミート変換で表されるとはどういうことだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

簡単に言うと、エルミート変換を波動関数ψに作用させると、物理量が出るということである。

例えば、波動関数 ψ に H を作用させると、Hψ=Eψ となり、エネルギー E が分かる。

この式は 『 シュレディンガー方程式 』 と呼ばれる。

定義 ( ノルム )

|a〉=a|u〉+・・・+a|u〉 をケットとする。

|| a ||=√〈a|a〉=√(|a+・・・+|a) と定義する。

このとき、|| a || を 『 |a〉 のノルム 』 という。

ノルム || a || は座標の取り方に依存しない。(※注意:内積の座標変換不変性)

定義 ( 規格化 )

|a〉 をケットとする。

|a〉 のノルムは 1 でないとする。

このとき、スカラー C を掛けて、C|a〉 のノルムが1となるようにできる。

このような操作を 『 規格化 』 という。

また、C を 『 規格化定数 』 という。

具体的に、規格化定数の値は C=1/|| a || である。

このことを確認しておく。

簡略化のため、2次元ベクトル a=a|u〉+a|u〉 として示す。

いま、|| C|a〉 ||=1 である。

また、|| C|a〉 ||=|Ca+|Ca=|C||a+|C||a=|C||| a || である。

よって、|C|=1/|| a || である。

注意 ( 確率振幅はスカラー積で表示できる )

|a〉 をケットとする。

|u〉 を完全正規直交系とする。

つまり、1|u〉〈u|である。

よって、|a〉=1|a〉=|u〉〈u|a〉=〈u|a〉|u〉 である。

つまり、座標系|u〉 において |a〉 の座標は 〈u|a〉 である。

つまり、a の確率振幅はスカラー積で表示できる。

次の2通りの表示を考える。

(*1) |a〉=c|u〉+・・・+c|u

(*2) |a〉=〈u|a〉|u〉+・・・+〈u|a〉|u

むろん、(*1)と(*2)は同じ意味である。

ただし、(*1)の確率振幅 c、・・・、c は座標系に依存する。

一方、(*2)の確率振幅はスカラー積で表示されているので座標系に依存しない。

ここで、

「 意味は同じなのに、(*1)が座標系に依存していて(*2)が依存していないというのはどういうこと? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

これを説明するために、別の完全正規直交系|u’〉 をとる。

いま、|a〉=c’|u’〉+・・・+c’|u’〉 と表せる。

むろん、c’、・・・、c’ は、c、・・・、c とは異なる。

この意味で、(*1)は座標系に依存する。

一方、|a〉=〈u’|a〉|u’〉+・・・+〈u’|a〉|u’〉 である。

むろん、〈u’|a〉、・・・、〈u’|a〉 は、、〈u|a〉、・・・、〈u|a〉 と異なる。

しかし、既に確認したように、各スカラー積は座標系に依存しない。(注意:内積の座標変換不変性)

この意味で、(*2)の確率振幅は座標系に依存しない。

注意 ( シュレディンガー表示 )

ここまでの議論ではベクトル |a〉 について議論した。

以下、ベクトルを |ψ〉 と表して、これを 『 量子状態 』 と呼ぶ。

また、ψは時間依存であるとする。

つまり、|ψ(t)〉 である。

ただし、座標|u〉 は時間に依存しないとする。

これを 『 シュレディンガー表示 』 という。

量子力学には 『 シュレディンガー表示 』 と 『 ハイゼンベルグ表示 』 がある。

シュレディンガー表示の系を決定する方程式は 『 シュレディンガー方程式 』 である。

ハイゼンベルグ表示の系を決定する方程式は 『 ハイゼンベルグの運動方程式 』 である。

今回はシュレディンガー表示で議論する。

以下、シュレディンガー表示の時間依存性を決定するため、3つの法則を要請する。

さらに、これによってシュレディンガー方程式を導く。

要請 ( 瞬間的因果律 )

|ψ(t)〉 が定まれば、次の状態 |ψ(t+Δt)〉 が一意に定まる。

つまり、将来の量子状態を決定することを要請する。

これは特別なことではなくて、力学でも同様である。

実際、力学では F=ma という式が登場する。

この式において a は加速度であり、将来の古典状態を決定する。

要請 ( 線形性 )

時間変化は線形である。

つまり、状態 ψ(t) と ψ’(t) が実現可能ならば、cψ(t)+c’ψ’(t) も実現可能である。

ただし、ψ’は微分でない。

要請 ( 確率の保存 )

各時刻で全確率は1である。

P1 ( シュレディンガー方程式の導出〜その1 )

|ψ(t)〉=ψ(t)|u〉+ψ|u〉 を量子状態とする。

ある関数 f と f が存在して、次を満たすとする。



このとき、次が成り立つ。

(1) 要請(瞬間的因果律)が満たされる。

(2) 要請(線形性)が満たされる。

(3) 要請(確率の保存)を認めると、あるエルミート行列 H が存在して、次が成り立つ。

補足

(3)で得られた式を 『 シュレディンガー方程式 』 という。

行列で表すと、

補足

ここでは簡略化のために2状態問題として書いた。

これをN状態問題に一般化することは容易であろう。

つまり、|ψ(t)〉=ψ(t)|u〉+・・・+ψ|u〉 とすればよい。

むろん、この場合、行列 H はN次行列となる。

(1)の証明

次のように計算できる。(※テイラー展開)



つまり、ψ(t+Δt) は、ψ(t) によって決定される。

(2)の証明

条件(*2)、(*1)より、

(3)の証明

いま、P(t)+P(t)=|ψ(t)|+|ψ(t)|=1 である。(※要請:確率の保存)

よって、



一方、



よって、A11+A11=0、A12+A21=0、A12+A21=0、A22+A22=0 である。

よって、

P2 ( ハミルトン行列 H が確率振幅を決定する )

次が成り立つ。

補足

つまり、H は確率振幅 ψ の変化を決定する。

証明

いま、dψ(t)/dt=f(ψ(t)、ψ(t)) と表せる。

よって、テイラー展開より、



一方、シュレディンガー方程式は、



よって、定理の式を得る。

定義 ( ハミルトニアン )

|ψ(t)〉 を量子状態とする。

ある線形オペレータ H が存在して、次を満たすとする。



このとき、H を 『 ハミルトニアン 』 という。

(*)はシュレディンガー方程式に対応する式である。

ただし、まだ、(*)とシュレディンガー方程式が等価であることは示していない。

P3 ( シュレディンガー方程式の導出〜その2 )

|ψ(t)〉 を量子状態とする。

|u〉 を完全正規直交系とする。

H=(Hij) を、|u〉 に伴う H の表現行列とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

既に導いたシュレディンガー方程式は座標系に依存していた。(※P1)

一方、今回のシュレディンガー方程式は座標系に依存していない。

これは注意(確率振幅はスカラー積で表示できる)の補足で述べたことと同じである。

証明

いま、定義(ハミルトニアン)より、



また、



また、



以上により、

P4 ( 固有方程式の解 )

|φ〉=E|φ〉 を固有方程式とする。

つまり、|φ〉 は H の固有ベクトルであり、E は H の固有値である。

H=(Hij) を H の表現行列とする。

このとき、次の固有方程式が得られる。



また、その規格化された解は、





また、(3)の φ± は直交性と完全性を満たす。

「 φ、φ 」 と 「 φ± 」 は意味が異なることに注意。

φ± は解が2つであることを意味している。

補足

最後の結論 φ ( n=1、2 ) の直交性と完全性についての証明は省略する。

これは(計算量は多いが)地道な計算によって示されるからである。

(1)の証明

いま、H|φ〉=E|φ〉 である。

よって、〈u|H|φ〉=〈u|E|φ〉=Eφ である。

一方、



よって、ijφ=Eφ である。

(2)の証明

いま、



この2次方程式を解くと、

(3)の証明

φ±=(φ±1、φ±2) とおく。

±=φ±2±1 とおく。

いま、



よって、



φ± を規格化すると、



よって、

P5

次のシュレディンガー方程式を考える。



φ± を P4 で得たものとする。

このとき、(*)の2つの独立な解 ( 1つの i に対して2つの独立な解±があるということ ) として次を得る。

補足

添え字 i は成分を意味しているわけではないことに注意。

つまり、シュレディンガー方程式(*)の一般解は、

補足

初期条件 ψ(0) が与えられているとすると、ψ(0)=cφ11+cφ21、ψ(0)=cφ12+cφ22 である。

この解として次を採用できる。(※連立1次方程式を解くだけ、あるいはクラメルの公式)

証明

ψ を(*)の左辺に代入すると、



ψ(t) を(*)の右辺に代入すると、P4(1)より、

P6

次のシュレディンガー方程式を考える。



|φ〉=E|φ〉 を固有方程式とする。(★1)

|φ(0)〉 を初期条件とする。

このとき、一般解は、



とくに、



また、今回の c と、P5補足に書いた c は同じ値である。(★2)

補足

P5 では E± と表したが、今回は E とした。

もともと、E± は2次方程式の解として得られた。

それはハミルトニアンを2次行列で考えていたことによる。

今回はそれを一般化して n 次行列として表記した。

(1)と(2)の証明

いま、



ただし、



この U(t) は 『 時間発展オペレータ 』 と呼ばれる。

(★1)、(**)より、



φ を、P4 で得られたものとする。

φ は完全性をもつので、



また、

(★2)の証明

P5 補足の式を行列で表すと、



よって、



一方、



よって、逆行列の一意性より、



つまり、

P7

|φ〉=E|φ〉 を固有方程式とする。

その解は次のように表せる。



このとき、

補足

つまり、〈ψ(t)|H|ψ(t)〉 はエネルギーの平均値(期待値)である。

実際、(*1)より、エネルギーが E となる確率は|cexp(−)|=|c である。

よって、エネルギーの平均値は E|c+E|c と表せる。

証明

P4 より、

P8 ( 時間発展オペレータは全確率を保存する )

次のシュレディンガー方程式を考える。



初期値|ψ(0)〉 が与えられているとする。

いま、次のように表せる。(※P6)



つまり、U(t) は時間発展オペレータである。

このとき、次が成り立つ。

(1) 時間発展オペレータはユニタリ変換である。

(2) 時間発展オペレータは全確率を保存する。

補足

ユニタリ変換とは、U∧†=1 を満たす変換である。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

いま、〈ψ(t)|ψ(t)〉=〈ψ(0)|U(t)∧†U(t)|ψ(0)〉=〈ψ(0)|1|ψ(0)〉=〈ψ(0)|ψ(0)〉 である。

また、〈ψ(t)|ψ(t)〉=〈ψ(t)|1|ψ(t)〉=〈ψ(t)|e〉〈e|ψ(t)〉=|ψ(t)| である。

よって、(t)=|ψ(t)|=〈ψ(0)|ψ(0)〉 である。

P9

|ψ(t)〉=ψ|e〉+ψ|e〉 を量子状態とする。

次のシュレディンガー方程式を考える。



つまり、



既に示したように、一般解は次のように表せる。



ケットの形で表すと、



このとき、

(1) 状態が |e〉 となる確率は|ψ(t)| である。

(2) エネルギーの平均値(期待値)は 〈H〉=E|c+E|c である。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

|φ〉 となる確率は、



よって、エネルギー平均値は、〈H〉=E|c+E|c である。

注意 ( まとめ )

|ψ(t)〉 を量子状態とする。

|e〉、|e〉 を基底ベクトルとする。

|φ〉、|φ〉 をエネルギー固有状態とする。

むろん、次のように表せる。

図示すると、



ここで、|e〉、|e〉 は独立な状態を意味するが、それ以上の特別な意味はない。

一方、|φ〉、|φ〉 はエネルギーが測定可能な状態を意味する。

むろん、測定可能な物理量はエネルギー以外にもある。

今回はハミルトニアンに注目しているので、|φ〉 はエネルギー固有状態を意味する。

参考 ( 状態の収縮 )

確率解釈は 『 状態の収縮 』 を意味する。

|ψ(t)〉 を量子状態とする。

O を観測可能な物理量(オブザーバブル)とする。

を O に伴うエルミートオペレータとする。

|φ〉 を O の固有状態とする。

つまり、|φ〉 はエルミート変換 O の固有ベクトルであり、完全正規直交系である。

いま、|ψ(t)〉=|φ〉 と表せる。

つまり、物理量 O が観測される可能性は |c である。(※確率解釈)

これは状態の収縮を意味する。

例えば、時刻 t で物理量 O を観測したとする。

観測に必要とする時間をεとする。

εは無限小であるとすると、

(*1) limε→+0|ψ(t−ε)〉=|φ

(*2) limε→+0|ψ(t+ε)〉=|φ

このように、観測直前と観測直後で不連続に状態が変化する。

これを 『 状態の収縮 』 という。

参考 ( ユニタリ発展 )

以上から分かるように、系の状態 |ψ(t)〉 の時間発展には次の2種類がある。

(1) ユニタリ発展 : シュレディンガー方程式に従い、連続的に変化する。

(2) 状態の収縮 : 確率解釈に従い、不連続的に変化する。