シュレディンガー方程式の表記と覚え方

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(*) シュレディンガー方程式の簡易的な導出

(*) 1次元シュレディンガー方程式

(*) 3次元シュレディンガー方程式

(*) シュレディンガー方程式の覚え方

参考 ( シュレディンガー方程式の簡易的な導出 )

1次元のシュレディンガー方程式を簡易的に導出しよう。

量子力学では運動量 p とエネルギー E は次のように表される。



とくに p に関する式を 『 ド・ブロイ関係式 』 という。

これらは 『 光電効果 』 や 『 コンプトン効果 』 によって確認されている。( 詳細は別ページで説明する )

基本的な波動関数として次がある。



これは平面波に相当する波動関数である。

ここで、次のように定義する。



(*3)を(*2)に作用させる。

すると、(*1)より、







つまり、ψに A を作用させると、物理量 A が出てくる。

ゆえに、p を 『 運動量オペレータ 』 という。

また、x を 『 位置オペレータ 』 という。

ここで、次のように定義する。



つまり、Hは力学的エネルギーの x と p を x と p に置き換えた式である。

いま、



(*4)と(*7)より、E と H の結果は一致している。

つまり、



これを 『 シュレディンガー方程式 』 である。

つまり、平面波に対してシュレディンガー方程式が成り立つことが分かった。

ゆえに、このことが他の波動関数に対しても成り立つと予想することができる。

実際、このことは 「 無限井戸 」 や 「 水素原子 」 などの問題を解くことで確認できる。

(*7)の計算で、V(x)ψ(x、t)=V(x)ψ(x、r)となっていることに注意しよう。

例えば、V(x)=ax としてみよう。

すると、V(x)ψ=ax∧2ψ=axψ=V(x)ψである。

上の議論で定義した E は今回の議論で特別に用意されたものである。

一般に E という表記が用いられているわけではない。

実際にはハミルトニアン H が重要である。

ここでは演算子であることを強調するためにハット∧を付けた。

ただし、この記号をつけなくてもよい。

むしろ、現場ではハット∧を省略して書くことも多いので、ハットを省略した表記にも慣れた方がよい。

参考 ( 1次元シュレディンガー方程式 )

上で示したように、1次元のシュレディンガー方程式は次のように表される。



記号 H を 『 ハミルトニアン 』 という。

シュレディンガー方程式は力学の運動方程式に相当する。

力学では運動方程式を解くことが目的であった。

量子力学ではシュレディンガー方程式を解くことが目的となる。

シュレディンガー方程式の解ψ(x、t)を 『 波動関数 』 という。

波動関数は系の状態を記述する。

むろん、波動関数は系のポテンシャル V によって異なる。

とくに、V(x)=0 の場合を 『 自由粒子 』 という。

波動関数の具体的な形は色々な問題を解くことで了解されるであろう。

例えば、『 無限井戸 』 や 『 水素原子 』 などがある。

これらの計算は別ページで議論する。

ここでは波動関数ψが系の状態を記述する関数であることを認めてもらえば十分である。

参考 ( 3次元シュレディンガー方程式 )

3次元シュレディンガー方程式は次のように表される。



これを次のように表しても意味は同じである。

ここで、r は 『 3次元の位置ベクトル 』 を意味する。

の矢印を外して、太字の で表されることも多い。

演算子ナブラ ∇ は次のように定義される。



また、∇ は形式的な内積 ∇・∇ を意味する。

つまり、



例えば、f(r)=f(x、y、z)=x+2y+3z とすると、

導出は1次元の場合と同様である。

ただし、3次元の平面波はψ(r、t)=exp[i(k・r−ωt)]と表される。

つまり、次のように計算できる。



同様に、





よって、



よって、

参考 ( 固有関数 )

を演算子とする。

いま、ある関数 F が存在して、AF=λF となるとする。( ただしλはスカラーである )

このとき、関数 F を 『 Aの固有関数 』 という。

また、λを 『 Aの固有値 』 という。

つまり、ハミルトニアン H の固有値は E である。

また、波動関数は固有関数である。

参考 ( シュレディンガー方程式の覚え方 )

改めて、シュレディンガー方程式を書くと、



この式は少し複雑に視えるかもしれない。

しかし、各項の 「 スケール 」 に注目すれば、この式は自然と理解される。

とくに、プランク定数 h に注目するとよい。

改めて、量子力学のエネルギーと運動量は次のように表される。



ここで、p と E はミクロな粒子としての量である。

一方、ω と k はマクロな波動としての量である。

これらが等号でつながれるためには 「 ミクロ=プランク定数×マクロ 」 となる必要がある。

また、波動関数に微分演算子が作用すると、マクロな波動としての量 ω や k が出る。

ゆえに、微分演算子のオペレータには必ずプランク定数がついている。

むろん、2回微分を実行する場合にはプランク定数は2つ掛けられる。

ゆえに、シュレディガー方程式の左辺にはプランク定数が1つ、右辺にはプランク定数が2つ付いている。

もう1つ、シュレディンガー方程式に対して入門者が戸惑うことがある。

それは上式右辺の 1/2 である。

しかし、これは何も難しいことではない。

これは運動エネルギー (1/2)mv に相当する。

この 1/2 がシュレディンガー方程式に現れているだけである。

ここで、「 でも、質量 m の分母分子が逆では? 」 と問う人がいるかもしれない。

しかし、問題はない。

これを理解するために、改めて、平面波の波動関数ψ(x、t)=exp[i(kx−ωt)] で確認しよう。

すると、



力学では p=mv なので p/2m は (1/2)mv に一致する。

つまり、質量 m の分母分子が逆に視えたのは単なる表記の違いである。

ちなみに、今回の計算では x で2回微分したので虚数 i は −1 になって消えてしまった。

一方、時間で1回微分すると、虚数 i が残る。

これがシュレディンガー方程式の左辺に虚数 i が現れる理由である。

以上のことに注意すれば、教科書を見なくてもシュレディンガー方程式を書ける。

ここまでの議論はすべて次の式に集約される。

上で述べたように、「 ミクロ=プランク定数×マクロ 」 である。

逆に言えば、ミクロ/プランク定数=マクロである。

例えば、量子力学には 『 時間発展オペレータ 』 や 『 平行移動オペレータ 』 がある。

これは次のように表される。



ハミルトニアンや運動量オペレータが波動関数に作用するとミクロな粒子としての E や p が出る。

これをマクロな波動としての量に変換するためにはプランク定数 h で割る必要がある。

ゆえに、上記のオペレータでは H や p はプランク定数で割られている。

むろん、上記のオペレータを次のように表すことは間違いではない。



しかし、このサイトではなるべく(*1)のように表記する。

むろん、その理由は 「 スケール 」 に注目することで見通しがよくなるからである。