シュレディンガ方程式の表記を丁寧に説明する

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参考 ( 1次元シュレディンガ方程式 )

1次元のシュレディンガ方程式は次のように表される。

1次元のシュレディンガ方程式を簡易的に導出しよう。

光子のエネルギー E と運動量 p は次のように表されることが知られている。(※光電効果、コンプトン効果)



量子の状態は波動関数によって記述される。

基本的な波動関数として次がある。



次のように定義する。



ここで、(*3)を(*2)に作用させると、(*1)より、



つまり、ψに A を作用させると、物理量 A が出てくる。

そこで、E を 『 エネルギーオペレータ 』 という。

また、p を 『 運動量オペレータ 』 という。

また、x を 『 位置オペレータ 』 という。

ここで、これを逆に考える。(★)

つまり、通常の力学で知られている量 A は、量子力学の世界では A に置きかえられるのだと考える。

例えば、力学の力学的エネルギーは次のように置きかえられる。



つまり、



つまり、

最後の結論で、V(x)ψ(x、t)=V(x)ψ(x、r)となることに注意しよう。

例えば、V(x) は V(x)=(1/2)kx で与えられる。

よって、V(x)ψ=(1/2)kx∧2ψ=(1/2)kxψ=V(x)ψである。

上の議論において(★)は重要な転換点である。

(★)より前では、基本的な波動関数(*2)についてのみ議論していた。

一方、(★)より後では、一般の ψ(x、t) に対して主張しているのである。

つまり、基本的な波動関数に対して成り立つのだから、一般の波動関数に対しても成り立つと予想するのである。

参考 ( 3次元のシュレディンガ方程式 )

3次元のシュレディンガ方程式は次のように表される。



これを次のように表しても意味は同じである。

ここで、r は 『 3次元の位置ベクトル 』 を意味する。

矢印 → は誤解を防ぐために付けたもので、必ずこれを付けなければならないということではない。

例えば、r の矢印を外して、太字の r で表されることも多い。

ここで、Δ は 『 ラプラス演算子 』 と呼ばれる記号である。

これは、次のように定義される。



例えば、f(r)=f(x、y、z)=x+2y+3z とすると、

参考 ( 時間に依存しないシュレディンガ方程式 )

時間に関する要素を除いて、次のように表すことができる。



これを 『 時間に依存しないシュレディンガ方程式 』 という。

参考(3次元のシュレディンガ方程式)より、



上式左辺の係数部分は t のみであり、上式右辺の係数部分は r のみである。

そこで、ψ(r、t) は 『 r のみの関数 』 と 『 t のみの関数 』 で分離できると仮定する。

つまり、ψ(r、t)=T(t)φ(r) と表されると仮定する。

このように仮定して微分方程式を解く方法を 『 変数分離法 』 という。

これを(*1)に代入すると、



さらに、両辺を T(t)φ(r) で割ると、



上式左辺は t のみの関数であり、上式右辺は r のみの関数である。

よって、(*2)が任意の t と r に対して成り立つためには、(*2)は定数でなければならない。(★1)

そこで、その定数を E と表す。(★2)

いま、



とくに、後者の式は、次のように表せる。



これを 『 時間に依存しないシュレディンガ方程式 』 という。

(★1)について補足

もう少し詳しく言うと、t と r が独立変数だから、(*2)は定数でなければならないということである。

もしかしたら、

「 t と r は本当に独立しているのだろうか?時刻と位置は関係しているのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

たしかに、1つの軌道のみを考えるのであれば、時刻と位置は関係するであろう。

しかし、ここで考えているのは、一般の関数であることに注意しよう。

例えば、次のような状態を考えることができる。

(**1) 時刻 t で位置 x にボールが存在する状態

(**2) 時刻 t で位置 x にボールが存在する状態

(**3) 時刻 t で位置 x にボールが存在する状態

(**4) 時刻 t で位置 x にボールが存在する状態

以上により、時刻 t と位置 x は、独立して自由に選べることが分かる。

むろん、ここでの軌道は比喩的なもので、実際には波動で記述される。

(★2)について補足

ここで、

「 E は定数なのか?エネルギーなのか? 」

・・・という疑問をもつ人がいるかもしれない。

結論を言うと、E は数学的に定数として置かれたものだが、これはエネルギーを意味する。

つまり、H を φ(r) に作用させると、エネルギー E が出てくる。

つまり、φ(r)は固有状態であり、E はφ()に付く固有値である。

ここで、

「 なぜ、数学的におかれただけの定数が、エネルギーという意味をもつことになるのだろう? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、これは量子力学の要請であるから、その理由を問うても意味がない。

分かりやすくするために、上の質問を力学に置き換えると、

「 なぜ、F=ma は力を意味することになるのだろう? 」

・・・ということになる。

この質問には答えようがないことが分かるであろう。

この辺りは、

「 そもそも物理学において 『 要請 』 とは何か?」

・・・という話になる。

しかし、今回はシュレディンガ方程式の表記に関するテーマであるから、この話は保留にしよう。

量子力学の要請については別ページで扱う。