連続スペクトル→シュレディンガ方程式の一般解

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参考 ( 概要 )

|ψ(t)〉 を量子状態とする。

ψ(x、t)=〈x|ψ(t)〉 と定義する。

このとき、ψ(x、t) を 『 波動関数 』 という。

つまり、波動関数は、量子状態の x 表示である。

また、固有ベクトル |φ〉 に対して φ(x)=〈x|φ〉 を 『 固有関数 』 という。

基本的に、このページで議論することはそういうことである。

詳しくは以下で改めて定義して議論する。

定義 ( 完全系 )

|u〉 をベクトルの集合とする。

任意のベクトル |v〉 は、|v〉=|u〉 ( c はスカラー ) の形で表せるとする。

つまり、任意のベクトルは|u〉 の1次結合で表せるとする。

このとき、|u〉 を 『 完全系 』 という。

を 『 展開係数 』 と呼ぶこともある。

P1 ( エルミート変換の性質 )

をエルミート変換とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A の固有ベクトルから成る完全正規直交系が存在する。

(2) A の固有値は実数である。

補足

つまり、あるベクトル |u〉 が存在して、次を満たす。

(1) A|u〉=a|u〉 ( a は固有値 )

(2) 〈u|u〉=δmn

(3) 任意のベクトル |v〉 は|v〉=|u〉 の形で表される。

証明

既知とする。

注意

を位置オペレータとする。

|x〉 を、x の固有ベクトルから成る完全正規直交系とする。(※P1)

むろん、x|x〉=x|x〉 である。

ただし、|x〉 の個数は実数 x と同じである。

つまり、|x〉 は連続無限個である。

つまり、x を |x〉 に作用させると、位置 x が固有値として現れる。

定義 ( ディラックのデルタ )

関数 δ(x) が存在して、次を満たす。



このとき、δ を 『 ディラックのデルタ 』 という。

とくに、f(x)=1 (定値関数) を選ぶと、

とくに、a<c<b に対して次が成り立つ。

一般に、f(x) に対して f(x)δ(x−x’)=f(x’)δ(x−x’) である。

なぜなら、δ(x−x’)が 0 以外の値をとる点は x=x’ のみだからである。

ちなみに、同様の関係は 『 クロネッカのデルタ 』 にもある。

実際、Aδmn=Aδmn である。

注意 ( 完全正規直交性〜連続ver )

を位置オペレータとする。

|x〉 を、x の固有ベクトルから成る完全正規直交系とする。(※P1)

以下、|x〉 の正規直交性を次のように表す。



また、|x〉 の完全性を次のように表す。

P2 ( x の表現行列とスペクトル分解 )

次が成り立つ。

補足

(1)は x の行列表示(表現行列)である。

(2)は x のスペクトル分解である。

(1)の証明

いま、x|x’〉=x’|x’〉 である。

また、x’δ(x−x’)=xδ(x−x’) である。

よって、〈x|x|x’〉=x’〈x|x’〉=x’δ(x−x’)=xδ(x−x’)である。

(2)の証明

次のように計算できる。

(*) x=x=x∫|x〉〈x|dx=∫x|x〉〈x|dx=∫x|x〉〈x|dx

注意 ( 位置オペレータはエルミート変換である )

はエルミート変換である。

証明

次のように計算できる。(※P2)

定義 ( 波動関数 )

|ψ(t)〉 を状態ベクトルとする。

|x〉 を、x の固有ベクトルから成る完全正規直交系とする。(※P1)

いま、〈x|ψ(t)〉 は、|ψ(t)〉 の |x〉 への射影成分である。

ψ(x、t)=〈x|ψ(t)〉 と定義する。

このとき、ψ(x、t) を 『 波動関数 』 という。

P3

|ψ(t)〉 を状態ベクトルとする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

次のように計算できる。(※完全性)

(2)の証明

いま、次が成り立つ。(※確率解釈)



また、次のように計算できる。(※注意:完全性)

要請 ( シュレディンガ方程式〜その1 )

|ψ(t)〉 を状態ベクトルとする。

このとき、あるエルミート変換 H が存在して、次を満たす。

これは要請として認めるので証明は行わない。

つまり、|ψ(t)〉 の時間変化は H によって決定される。

はエルミート変換であるから、H∧†=H である。

P4 ( シュレディンガ方程式〜その2 )

ψ(x、t) は波動関数とする。

このとき、エルミート変換 H が存在して次を満たす。

証明

いま、あるエルミート変換 H が存在して、次を満たす。(※要請:シュレディンガ方程式〜その1)



よって、

要請 ( 運動量オペレータ )

を運動量オペレータとする。

このとき、

上式は運動量オペレータの行列表示(表現行列)を意味する。

要請 ( ハミルトニアン )

をエネルギーオペレータとする。

このとき、

V(x) はポテンシャルオペレータである。

V(x) を V(x) と表してもよい。

注意

運動量オペレータはエルミート変換である。

次のように計算できる。

P5

次が成り立つ。

補足

(3)は p のケットブラ表示である。

(1)の証明

|f〉 を任意の状態とする。

いま、次のように計算できる。(※要請:運動量オペレータ、定義:ディラックのデルタ)

(2)の証明

既に確認したように、p はエルミート変換である。

つまり、p∧†=p である。

よって、(〈x|p=p∧†|x〉=p|x〉 である。

よって、(1)のエルミート共役は、

(3)の証明

次のように計算できる。(※完全性〜連続ver、要請:運動量オペレータ、定義:ディラックのデルタ)

P6 ( シュレディンガ方程式〜その3 )

ψ(x、t) を波動関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

P5より、



いま、x|x〉=x|x〉 である。

よって、〈x|x∧†=x〈x| である。

よって、〈x|x=x〈x| である。(※ x は実数 )

いま、V(x)|x〉=V(x)|x〉 である。

よって、〈x|V(x=V(x)〈x| である。

よって、〈x|V(x)=V(x)〈x| である。(※V(x)は実関数)

よって、



(*1)、(*2)より、次のように計算できる。(※P4)

規約 ( シュレディンガの置き換え )

ここまで確認してきたように、次の関係がある。



よって、この置き換えによって正しい結果を得ることができる。

補足

もう少し詳しく説明する。

既に確認したように、次が成り立つ。



つまり、|f〉 に x を作用させることは 〈x|f〉 に x を掛けることを意味する。

そこで、最初から 〈x|f〉 の世界に注目し、表からオペレータを消すことができる。

置き換えの正当性は次のように確認できる。

いま、



ここで、規約(シュレディンガの置き換え)より、



よって、



これはシュレディンガ方程式である。

P7

次のシュレディンガ方程式を考える。



|φ〉=E|φ〉 を固有方程式とする。(★1)

|φ(0)〉 を初期条件とする。

このとき、一般解は、



とくに、

証明

既知とする。

P8 ( シュレディンガ方程式の一般解〜離散的量子数ver )

をハミルトニアンとする。

|φ〉 を H の固有ベクトルから成る完全正規直交系とする。(※P1)

ただし、n は離散的な量であり、n=1、2、・・・ である。

このとき、



つまり、

(1)の証明

|φ〉 の完全性は次のように表される。



次のように計算できる。(※P7:時間発展オペレータ)

(2)の証明

(1)の両辺に左から 〈x|を作用させればよい。

P9 ( シュレディンガ方程式の一般解〜連続的量子数ver )

をハミルトニアンとする。

|φ〉 を H の固有ベクトルから成る完全正規直交系とする。(※P1)

ただし、k は連続的な量であり、−∞<k<∞ である。

このとき、

証明

P8 において c を c(k) に置き換え、 を ∫ に置き換えればよい。

P10

を運動量オペレータとする。

|p〉 を、運動量が p に定まった状態とする。

むろん、|p〉 は p の固有状態である。

つまり、p|p〉=p|p〉 である。

(x) を |p〉 の x 表示とする。( つまり、u(x)=〈x|p〉 である )

このとき、

補足

つまり、u(x)=c(coskx+isinkx)である。(※オイラーの公式)

いま、u(x) は波長 λ=2π/|k|の波である。

実際、



また、



これを 『 ド・ブロイの関係 』 という。

p と k は同符合であるから、粒子の運動方向と波の進行方向は同じである。

証明

いま、〈x|p|p〉=p〈x|p〉 である。

規約(シュレディンガの置き換え)より、



よって、



つまり、



よく知られているように、この微分方程式の一般解は、

P11 ( 自由粒子 )

を(自由粒子に対する)ハミルトニアンとする。

φ を、H に伴う固有関数とする。( つまり、φ はエネルギー固有関数である )

このとき、

補足

自由粒子とは、束縛などの条件がない状態を意味する。

つまり、ポテンシャルは V(x)=0 としてよい。

証明

シュレディンガ方程式は、



いま、V(x)=0 としてよい。

よって、



よく知られているように、この一般解は、