化学工学、微分方程式、流出、流入

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参考

化学プラントでは液体の流量を制御する。

そこで、このページでは、微分方程式を用いて容器内の液面の高さを記述する。

参考 ( 水位の変化〜その1 )

一様な断面積 A をもつ容器を考える。

容器の底には断面積 a の穴があるとする。

容器内の液体は、この断面積 a の穴から流出するとする。

このとき、次の問題を考える。

(1) 流入がない場合、液面の高さ h(t) はどのように変化するか?

(2) 流入量が u(t) である場合、液面の高さ h(t) はどのように変化するか?

(3) 流入量が一定 u である場合、液面の高さ h(t) はどのように変化するか?

(1)の考察

v を底からの流出速度とする。

いま、v=√(2gh)である。(※トリチェリの法則)

ただし、実際には水の粘性や表面張力が作用する。

よって、実際の流出速度は上式よりも小さい。

そこで、v=C√(2gh) とおく。( C は速度係数 )

また、単位時間あたりの流出量は、C√(2gh) である。

ただし、C=aC である。( C は縮流係数、C は流量係数 )

また、v=v(t)、h=h(t) であることに注意する。

時間の経過によって h(t) が小さくなれば、v(t) も小さくなる。

いま、Ah’=−C√(2gh) である。( つまり、(同次)非線形微分方程式である )

これは解析的に解ける。

まず、h’=−k√h ( k=C√(2g)/A ) とおく。

いま、(1/√h)dh=−kdt である。(※変数分離)

上式の両辺を 0 から t まで積分すると、2(√h(t)−√h(0))=−kt である。

よって、h(t)=(√h(0)−kt/2) である。

(2)の考察

u(t) を単位時間あたりの流入量とする。

いま、Ah’=u−C√(2gh) である。( つまり、(非同次)非線形方程式である )(★1)

そこで、線形近似によって解く。

まず、u=u ( 一定 ) として、液面の高さは定常 h であるとする。

いま、u−C√(2gh)=0 である。(★2)

このような定常状態の近くで、液面の高さ h と流入量が微小変動すると仮定する。

ここで、h=h+Δh、u=u+Δu とおく。

(★1)、(★2)より、



明らかに、上式は Δh に関する1階線形微分方程式である。

分かりやすくするために、次のようにおく。



いま、x’+px=Q(t) である。

よく知られているように、1階線形微分方程式は定数変化法によって解ける。

それは微分方程式の基礎であるから、ここでは計算を省略する。

(3)の考察

u(定数)を、流入量とする。

いま、Ah’=u−C√(2gh) である。

これは解析的に解ける。

まず、次のようにおく。



h=v とおくと、



積分すると、



記号を元に戻して整理すると、

参考 ( 水位の変化〜その2 )

2つの容器をパイプでつなぐ。

と A を、それぞれの一様な断面積とする。

と h を、それぞれの液面の高さとする。

と u を、それぞれの流入量とする。

と C を、それぞれの出口の流量係数とする。

を容器間パイプの流量係数とする。

これらの液面の高さを記述する。

考察

容器間パイプを流れる水の速さは √(2gh−2gh) である。(※トリチェリの法則)

ただし、ここでは h>h としている。

いま、容器間の流量は C√(2gh−2gh) である。

よって、



流量を u10、u20 (一定) として、液面の高さは定常 h10、h20 であると仮定する。

このような定常状態の近くで、液面の高さと流入量が微小変動すると仮定する。

いま、



簡略化のために次のようにおく。



いま、



これは(定数係数)1階線形微分方程式である。

よって、その解は、x=aλt、x=aλt ( a、a は定数 ) と表される。

(*1)に代入すると、



これは線形代数の知識(行列やベクトル)によって解かれる。

しかし、以下ではこれらの知識を用いずに直接的に解く。

(*1)より、



これを(*2)に代入すると、



よって、次のいずれかである。



後者の場合、x=x=0 である。

これは(*1)の解である。

しかし、これは液面の変化を表す解ではない。

そこで、前者の場合について考える。

その特性方程式は、(Aλ+k+k)(Aλ+k+k)−k=0 である。(★)

λ と λ を、(★)の解とする。

λ ( p=1、2 ) に対応する a、a を a1p、a2p と表す。

いま、(*4)より、



よって、a1p と a2p の一方は任意定数である。(※なぜなら R が定数 )

よって、(*1)の一般解は次のように表される。(※重ね合わせの原理)



また、定数 a21 と a22 は初期条件によって定まる。

つまり、t=0 とすると、



よって、